{n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da jordan »

auron95 ha scritto:il prodotto degli n numeri è congruo a 18! modulo 9 [...]
Modulo 19, per il resto è ok :)
The only goal of science is the honor of the human spirit.
ma_go
Site Admin
Messaggi: 1906
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da ma_go »

auron95 ha scritto:[...] per il teorema di nonmiricordopiùcomesichiama (Wilson forse? :oops: )[...]
si chiama teorema di wilson, confermo. però non è che meriti davvero di avere un nome... e, per chi non l'avesse mai visto, non è mai sprecata l'occasione di dimostrarselo da soli.
auron95 ha scritto:[...]ma -1 non è un residuo quadratico modulo 19 (infatti il prodotto totale dev'essere un quadrato)
questo merita un pochino più di approfondimento. sei giovine, quindi dovresti giustificare bene il fatto che -1 non è un residuo quadratico mod 19 (visto che lo si può fare a mano). anche qui, è un invito (a tutti) a dimostrarselo, visto che non è un fatto trascendentalmente difficile.
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da jordan »

ma_go ha scritto:.. anche qui, è un invito (a tutti) a dimostrarselo, visto che non è un fatto trascendentalmente difficile.
Sì, hai ragione, comunque mi sono accorto aggiornando il thread della staffetta che proprio questo problema era comparso qualche mese fa, vabè..

Per la dimostrazione di quel fatto prendo $g$ generatore di $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ (cioè $x=p-1$ è il piu' piccolo intero positivo tale che $p\mid g^x-1$)... chi continua?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Avatar utente
auron95
Messaggi: 233
Iscritto il: 08 lug 2012, 12:20

Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da auron95 »

jordan ha scritto:Per la dimostrazione di quel fatto prendo $g$ generatore di $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ (cioè $x=p-1$ è il piu' piccolo intero positivo tale che $p\mid g^x-1$)... chi continua?
Ne approfitto per fare una domanda: spesso vedo una scrittura del tipo $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ma non capisco mai cosa vuol dire..... me lo potresti spiegare?
Grazie (scusate se la domanda può sembrare banale per alcuni ma sono ancora un "novizio" e ho ancora moltissimo da imparare)
This is it. This is your story. It all begins here.
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da jordan »

Mmh detta "alla grezza", gli interi modulo p.. in pratica e' il quoziente tra un gruppo e un suo ideale :roll:
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Avatar utente
auron95
Messaggi: 233
Iscritto il: 08 lug 2012, 12:20

Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da auron95 »

Gli interi a modulo p intendi le classi di resto? Cioè gli interi $0\leq n < p$?
This is it. This is your story. It all begins here.
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da jordan »

auron95 ha scritto:Gli interi a modulo p intendi le classi di resto? Cioè gli interi $0\leq n < p$?

Una classe di resto non è un intero, ma come dice il nome stesso e' una classe di interi: difatti con $x \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ si intendono tutti e soli gli interi della forma $kn+x$ per qualche $k\in \mathbb{Z}$
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Robertopphneimer
Messaggi: 426
Iscritto il: 14 lug 2012, 15:43

Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da Robertopphneimer »

Auron..-1 mod19?? Oppure -1 modulo qualcos'altro??

Ps: Se puoi posta il link del teorema almeno vedo con i miei occhi.
L'universo è come una sfera dove il centro è ovunque e la circonferenza da nessuna parte.
"Blaise Pascal"
Avatar utente
auron95
Messaggi: 233
Iscritto il: 08 lug 2012, 12:20

Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da auron95 »

jordan ha scritto: Per la dimostrazione di quel fatto prendo $g$ generatore di $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ (cioè $x=p-1$ è il piu' piccolo intero positivo tale che $p\mid g^x-1$)... chi continua?
Dovrebbe essere che siccome $a^1,\dots,a^{p-1}$ sono tutte le classi di resto (tranne lo 0) allora
$(p-1)!\equiv a^1\cdot \dots \cdot a^{p-1} = a^\frac{p(p-1)}{2} \pmod p$
che siccome l'esponente è un numero dispari che moltiplica mezzo ordine moltiplicativo allora è congruo a -1.

P.S questo l'ho fatto con le schede olimpiche davanti, perchè non riesco mai a capire quando usare i generatori, e come usarli.......
Robertopphneimer ha scritto:..-1 mod19??
:)
This is it. This is your story. It all begins here.
Avatar utente
auron95
Messaggi: 233
Iscritto il: 08 lug 2012, 12:20

Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da auron95 »

jordan ha scritto:
auron95 ha scritto:il prodotto degli n numeri è congruo a 18! modulo 9 [...]
Modulo 19, per il resto è ok :)
Scusa mi ero perso questo messaggio. Edito subito :D
This is it. This is your story. It all begins here.
Robertopphneimer
Messaggi: 426
Iscritto il: 14 lug 2012, 15:43

Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da Robertopphneimer »

ok dev'essere congruo a 18!(mod19) ma perché non operiamo con il 23 :wink: ??(altro numero primo) e con lo stesso ragionamento per i successivi...mod 19 poiché l'insieme dev'essere formato a numeri relativamente piccoli?
Ultima modifica di Robertopphneimer il 04 ago 2012, 11:20, modificato 2 volte in totale.
L'universo è come una sfera dove il centro è ovunque e la circonferenza da nessuna parte.
"Blaise Pascal"
Avatar utente
auron95
Messaggi: 233
Iscritto il: 08 lug 2012, 12:20

Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da auron95 »

Robertopphneimer ha scritto:21??(altro numero primo)
Davvero? ..... :wink:
This is it. This is your story. It all begins here.
Robertopphneimer
Messaggi: 426
Iscritto il: 14 lug 2012, 15:43

Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da Robertopphneimer »

ah oddio mi sono confuso :oops: ,vabbè 23 :D
L'universo è come una sfera dove il centro è ovunque e la circonferenza da nessuna parte.
"Blaise Pascal"
Avatar utente
auron95
Messaggi: 233
Iscritto il: 08 lug 2012, 12:20

Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da auron95 »

Probabilmente puoi trovare un assurdo dato che i numeri sono formati da numeri primi minori o uguali a 17, però è più lungo e complicato, mentre puoi trovare subito l'assurdo a modulo 19 (per gli altri primi non è detto che $n\equiv 1 \pmod p$, ad es per 23 potrebbe essere anche congruo a 3 senza che tu incontri un multiplo di 23 nell'insieme....)
This is it. This is your story. It all begins here.
Robertopphneimer
Messaggi: 426
Iscritto il: 14 lug 2012, 15:43

Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da Robertopphneimer »

intendi $ 23 \equiv 1 (mod 2) $ ??
Ultima modifica di Robertopphneimer il 05 ago 2012, 15:42, modificato 1 volta in totale.
L'universo è come una sfera dove il centro è ovunque e la circonferenza da nessuna parte.
"Blaise Pascal"
Rispondi