{n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

[jordan]

E' stato già postato tempo fa, ed e' abbastanza facile, per cui evitate di bruciarlo se vi viene in meno di due minuti..

Per quali interi positivi n e' possibile dividere {n,n+1,...,n+17} in due insiemi disgiunti tali che il prodotto degli elementi del primo insieme e' uguale al prodotto degli elementi del secondo?

[Robertopphneimer]

non sono molto esperto di insiemistica ma la mia soluzione sarebbe solo per $ n^2=n=1 $

[auron95]

non sono molto esperto di insiemistica ma la mia soluzione sarebbe solo per n2=n=1

In tal caso non avresti un solo primo 17 nei 18 numeri?

[jordan]

non sono molto esperto di insiemistica ma la mia soluzione sarebbe solo per n2=n=1

In tal caso non avresti un solo primo 17 nei 18 numeri?

Esatto, n=1 non funziona.

@Robert: questo forum non è nato per essere del tipo testo-soluzione perfetta; anzi, spesso e' dagli sbagli che si impara davvero come andare avanti (quando mi sono iscritto io, era già tanto che conoscevo cos'era una congruenza, e devo molto a questo forum)..per cui, vale anche per le prossime volte, scrivici com'è che si sei arrivato, che della soluzione effettiva non è che ci importa molto

[Robertopphneimer]

Diciamo che non ho penato a i numeri primi..,ho pensato che la sommatoria di $ n $ interi partendo da uno è $ \frac{n(n+1)}{2} $ e che questo da come risultato un intero con solo n=1...vi prego ditemi la falla nel mio ragionamento(anche penso che proprio l'approccio è sbagliato)


ps: so che l'importante è il procedimento per questo mi piace molto questo forum .

[jordan]

[...] è $ \frac{n(n+1)}{2} $ e che questo da come risultato un intero con solo n=1[...]

Le falle sono due:

1. che c'entra la somma dei numeri da $1$ a $n$?

2. $\frac{n(n+1)}{2}$ e' sempre intero perchè almeno uno tra $n$ e $n+1$ e' sempre pari.

[Robertopphneimer]

mmh capisco scusatemi che sto studiando molta roba e non ho capito subito che ho detto uno sfondone, per n pari si hai ragione,ok ricominciamo

[Robertopphneimer]

neanche con 2 perché c'è un solo primo 19...sono sulla strada giusta?? (Però non riesco a capire..dovrei pensare a tutti i numeri primi e cercare solo quegli n che soddisfano l'uguaglianza tra produttorie con primi e necessariamente multipli di essi al loro interno.A volte penso anche che in esercizi come questi ci siano infiniti interi n e che quindi devo porre un limite inferiore per esempio $ n>2 $ dire n abbastanza grande è troppo generico.

[auron95]

Intanto abbiamo che $ 17\mid n $ perchè c'è almeno multiplo di 17 quindi ce ne devono essere esattamente due e che $ n\equiv 1 \pmod{19} $ perchè non possono esserci due multipli di 19 quindi non ce ne deveno essere affatto.

Quindi abbiamo che $ n \equiv 153 \pmod {17\cdot 19} $

Adesso però non so cosa farmene....

[Robertopphneimer]

almeno ogni numero (primo)nell'insieme dovrebbe ammettere un'operazione che gli dia il suo doppio..cioè almeno un'altro numero che sia multiplo di quello(penso solamente al doppio perché per n+17 non mi'immagino un triplo di un numero primo almeno per n piccoli ),apparentemente questo problema non presenta soluzioni n che verificano l'uguaglianze delle produttorie.

ps:Jordan c'è qualche falla nel ragionamento??Che ne pensi di esso?

[Robertopphneimer]

Intanto abbiamo che $ 17\mid n $ perchè c'è almeno multiplo di 17 quindi ce ne devono essere esattamente due e che $ n\equiv 1 \pmod{19} $ perchè non possono esserci due multipli di 19 quindi non ce ne deveno essere affatto.

Quindi abbiamo che $ n \equiv 153 \pmod {17\cdot 19} $

Adesso però non so cosa farmene....

prova a riscriverlo nella forma $ kq+r $ cioè $ (19*17)k+153 $ ci fsse qualche relazione tra n e k ....

[jordan]

Quindi $ n \equiv 1 \pmod {19} $

Sì, sei sulla buona strada

[auron95]

L'idea potrebbe essere di notare che quei 18 numeri sono prodotti dei primi 2,3,5,7,11,13,17 e poi scartare i numeri che, per ogni primo, potrebbero contenere più volte il primo nella fattorizzazione (mi spiego meglio: ad esempio per il primo 5 ho al massimo 4 multipli di 5 e uno solo può essere multiplo di $ 5^2 $, quindi se lo scarto ho 17 numeri in cui il 5 compare al massimo una volta) e così mi rimangono un numero più piccolo di termini in cui i primi compaiono al massimo una volta in ciascun termine. Da qua dovrei ottenere delle condizioni che mi dicono che n non può essere troppo grande

So che la spiegazione è un po' contorta, ma la mia è solo un idea e devo ancora formalizzarla........

[jordan]

Quello che hai scritto è sostanzialmente corretto, ma prova ad andare avanti mod 19..

[auron95]

Bingo!

il prodotto degli n numeri è congruo a 18! modulo 19 che per il teorema di nonmiricordopiùcomesichiama (Wilson forse? ) è congruo a -1 ma -1 non è un residuo quadratico modulo 19 (infatti il prodotto totale dev'essere un quadrato)