$\sigma_1(n)<\sigma_1(n+1)<\sigma_1(n+2)$

[jordan]

Per intero positivo $m$, la funzione aritmetica $\sigma_1(m)$ indica la somma dei divisori di $m$.

Dimostrare che esistono infiniti interi positivi $n$ tali che $\sigma_1(n)<\sigma_1(n+1)<\sigma_1(n+2)$

[frod93]

mica facile questo...
l'unica cosa che mi sento di dire è che $n$ dovrebbe essere nella forma $6k+1$ poiché per molti $k$ sarebbe primo (un primo è sempre $6k \pm 1$ e scegliendo il segno + mi assicuro che $n+2$ non è primo).
con questa situazione si ha che n ha sicuramente la somma dei divisori minore degli altri due, ma non so come rapportare i due successivi tra loro... in alcuni casi torna e in altri no, ma non basta per dimostrare che sono infiniti i numeri, potrebbe essere benissimo che da un certo numero $N$ indefinitamente grande in poi non vale più...

[auron95]

Forse se n fosse del tipo 12k+1 e $ k\equiv 1 $ (mod 5), con 12k+1 primo e anche 6k+1 primo (in modo che $ n+1=12k+2 $ sia due volte un primo) avrei
$ \sigma_1(n) = n+1 $
$ \sigma_1(n+1) = n+\frac{n}{2}+2+1 $
e 12k+3= 3(4k+1) è multiplo di 15 quindi
$ \sigma_1(n+2) \geq n+\frac{n}{3}+\frac{n}{5}+5+3+1 = n+\frac{8}{15}n+9 $

Il problema rimane comunque: chi lo dice che esitsano infiniti k con quelle tre proprietà?

[jordan]

mi sento di dire è che n dovrebbe essere nella forma 6k+1 poiché per molti k sarebbe primo

Molti non implica infiniti, che in ogni caso non risolverebbe il problema..

..un primo è sempre 6k±1..

Non mi pare..

chi lo dice che esitsano infiniti k con quelle tre proprietà?

In particolare ti servirebbero infiniti $p \in \mathbb{P}$ tali che $2p-1 \in \mathbb{P}$.. no, non l'hai dimostrato nessuno, per quanto ne so

[auron95]

..un primo è sempre 6k±1..

Non mi pare..

È vero (tranne per 2 e 3) che tutti i primi sono congrui a $ \pm 1 $ modulo 6 perché non possono essere congrui a 0,2,4 (dev' essere dispari) né a 3 (non può essere multiplo di 3).

[frod93]

mi sento di dire è che n dovrebbe essere nella forma 6k+1 poiché per molti k sarebbe primo

Molti non implica infiniti, che in ogni caso non risolverebbe il problema..

..un primo è sempre 6k±1..

Non mi pare..

un primo $>3$ è sempre $6k±1$, controllali tutti se non ci credi
ma non tutti i primi sono in quella forma.
ciò significa che essendo infiniti i primi ci sono infiniti $k$ che rendono il numero primo, ma non sono tutti i $k$ da 1 a $\infty$

[jordan]

controllali tutti se non ci credi

Non voglio fare l'antipatico, ma commenti del genere sono fuori luogo.

Allora.

1. Dire che i primi sono tutti della forma 6k±1 e' sbagliato.

2. Dire che ci sono infiniti k interi tali che 6k+1 e' primo e' vero, ma non e' manco accennata una dimostrazione di questo fatto.

3. Vi pregherei di non postare risposte se non danno un contributo effettivo alla soluzione del problema.

4. Il livello di questo problema (resta comunque un parere soggettivo) resta superiore a un IMO..

[Robertopphneimer]

provo io per induzione:

se$ \sigma_1(n+2) > \sigma_1(n+1) $ e $ \sigma_1(n) < \sigma_1(n+1) $ allora $ \sigma_1(n+2) > \sigma_1(n) $

perciò

$ \sigma_1[(n+1)+2] > \sigma_1(n+1+1) $

da ciò si vede che la versione finale va bene per n+1 (il risultato viene esattamente per n+1),si applica lo stesso metodo all'altra disequazione e quindi si dimostra che vale per ogni n intero positivo maggiore di $ n_0 $.
Cavolo..ma quale sarebbe l' $ n_0 $?? 0??? (comunque mi sembra troppo rozza e semplicistica la mia soluzione).

[frod93]

Dire che i primi sono tutti della forma 6k±1 e' sbagliato.

Pagina 118 "Problem solving strategies" di Arthur Engels
"12. All primes $p>3$ have the form $6k±1$"

che c'è di sbagliato?

[jordan]

Che c'è di sbagliato?

Di sbagliato che il p>3 non l'hai scritto da (alcuna) parte; siamo in un forum di matematica, le eccezioni possono fare la differenza..

[...]da ciò si vede che la versione finale va bene per n+1 (il risultato viene esattamente per n+1)

No. $\sigma_1(n+3)$ non ha praticamente alcuna relazione visibile con $\sigma_1(n+2)>\sigma_1(n+1)>\sigma_1(n)$, ammesso che un tale $n$ esista..

[Robertopphneimer]

Si capisco...infatti mi sembrava troppo generico...una domanda ma questo sigma quindi è funzione degli n+1 o n+2 etc??

[jordan]

...una domanda ma questo sigma quindi è funzione degli n+1 o n+2 etc??

Come e' scritto nel testo del problema $\sigma_1(m)$ definisce in modo univoco la somma dei divosori di $m$ per ogni $m$ intero positivo.

Ti dico di più, anche se dovresti già saperlo: se $m>1$ ha fattorizzazione $\displaystyle \prod_{i=1}^k{p_i^{a_i}}$ allora $\sigma_1(m)=\displaystyle \prod_{i=1}^k{\frac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1}}$; ma, questo ha poco a che fare con $\sigma_1(m+1)$ e $\sigma_1(m+2)$, visto che si richiede di conoscere la fattorizzazione degli stessi

Ps. Altrimenti si potrebbe provare a limitare quel $\sigma_1(\cdot)$ dall'alto e/o dal basso..

[Robertopphneimer]

si hai ragione...ma quindi se provassimo per induzione la produttoria come l'hai descritta tu per gli n numeri primi?? cioè dimostrando che se vale per no vale anche per no+1 e quindi per n+1 e cercando il legame che ha con $ \sigma(n) $...cioè mettendo in disuguaglianza le due produttorie(per poi estenderlo ai tre membri della disuguaglianza) .
Ti propongo queste idee al solo fine di ragionare meglio con questi tipo di problemi che a primo impatto sono un pò ostici e anche per questo ti ringrazio jordan per la chiarezza e la disponibilità che hai verso un povero "novizio"

[jordan]

si hai ragione...ma quindi se provassimo per induzione la produttoria come l'hai descritta tu per gli n numeri primi?? cioè dimostrando che se vale per no vale anche per no+1 e quindi per n+1 e cercando il legame che ha con $ \sigma(n) $...cioè mettendo in disuguaglianza le due produttorie(per poi estenderlo ai tre membri della disuguaglianza) .

Prima di partire a ragionare per induzione (PMI), chiediti se può essere una strada logica o meno:

1. Vorresti partire da un $n_0 \in \mathbb{P}$ e mostrare che quella catena di disuguaglianze e' vera per ogni $n\ge n_0$? Dovresti vederlo a occhio: quella disuguaglianza non è vera per ogni $n$ sufficientemente grande

2. Vorresti dimostrare che esistono infiniti $p\in \mathbb{P}$ tali che $p+1=\sigma_1(p)<\sigma_1(p+1)<\sigma_2(p+2)$? E' già una strada piu' logica, ma resta sempre da dimostrare che $\sigma_1(p+1)<\sigma_1(p+2)$ per infiniti primi p..

3. Vorresti provare l'induzione su una sequenza $x_n$ (per esempio definita come $10^n+n+2-5^n$) e mostrare che $\sigma_1(x_n)<\sigma_1(x_n+1)<\sigma_1(x_n+2)$ per ogni $n\ge n_0$? Potrebbe andare, ma devi cercare una "buona" definizione di $x_n$..

4. Nel caso che nessuna di queste strade porti a qualche buon risultato, prova qualcos'altro.

[...] anche per questo ti ringrazio jordan per la chiarezza e la disponibilità che hai verso un povero "novizio"

Siamo passati tutti di qui da poveri "novizi"..

[Robertopphneimer]

In effetti sembra più complicato di quanto pensassi, penso dimostrare che infiniti numeri p dimostrano la disuguaglianza sia un impresa immane...per la sequenza ancora non ho l'occhio giusto per azzeccare quella giusta sequenza che possa darmi veramente una mano (anche se mi viene in mente questa frase delle dispense delle olimpiadi matematiche "I residui quadratici modulo 4 sono [0] e [1]. In particolare, il quadrato di un intero pari è
congruo a 0, e quello di un intero dispari è congruo a 1" quindi una sequenza alternata non sarebbe male per i residui quadratici dei numeri primi no??(anche se ho paura di non prenderli tutti)) in quanto a n sufficientemente grande..non capisco...come fai a vederlo a "occhio" quella è solo una funzione..poi se riesci a vedere già la funzione in se per se scomposta come sommatoria...
Inoltre ancora non conosco altri metodi oltre all'induzione(o forse non mi vengono in mente) per n interi positivi.