Binomio di Newton

[Robertopphneimer]

So che ne avrete piene le scatole ma proprio non riesco a capire...
ho capito che esso dimostra i coefficienti di somma di due variabili di grado N e l'ho dimostrato anch'io tramite induzione....
Ma come cavolo gli è venuto in mente a Newton di usare i coeff.binomiali?? cioè come è uscitasta formuila?? (sento ogni tanto della formula di Stiefel,qual'è la relazione?? e da dove deriva essa??)
Inoltre com'è applicabile al calcolo combinatorio??
Vi prego ne ho un bisogno immane per i test della SNS!

[trugruo]

immagina di fare (a+b)(a+b)(a+b)(a+b) , ora cerca di capire come fai ad avere ad esempio il termine a^2 b^2, moltiplicando, devi scegliere 2 volte a e 2 volte b nelle parentesi, e lo puoi fare in BINOMIALE(4,2)= 6 modi e così via, l'idea è questa

[Robertopphneimer]

immagina di fare (a+b)(a+b)(a+b)(a+b) , ora cerca di capire come fai ad avere ad esempio il termine a^2 b^2, moltiplicando, devi scegliere 2 volte a e 2 volte b nelle parentesi, e lo puoi fare in BINOMIALE(4,2)= 6 modi e così via, l'idea è questa

mmmh non sono tanto convinto..cioè devo fare ad esempio le combinazione a+b tra le varie parentesi???effettivamente sono 6 ,per questo viene 6 volte nel $ (a+b)^4 $ il termine$ a^2b^2 $ ancora non capisco come hai fatto a ricavare il 4 ed il 2! ok n=4 ma k= 2?? nel senso perché k al massimo nel binomio è 2??

[trugruo]

conosci il binomiale e la sua interpretazione combinatoria? ovvero , binom(n,k) conta quanti gruppetti da k posso fare con n elementi (senza tenere conto dell'ordine di come li dispongo) , ad esempio bin(4,2) = 6, sarebbero {1,2} {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} {3,4}, ovvero il numero di modi in cui puoi fare delle coppie (dove l'ordine non conta, quindi ad esempio {3,4} la si considera uguale a {4,3} ) con 4 elementi.

Il k=2 sarebbe la potenza del termine in a , ad esempio se volevi il termine a^3 b, dovevi fare bin(4,3) , o se scambi le variabili a e b, bin(4,1) che infatti dà lo stesso risultato

[Robertopphneimer]

uhuh..fenomenale...scusa per lo stupore ma è stupendo...quindi conta tutte le combinazioni di n e k senza tenere conto dell'ordine.

[trugruo]

sì, però dimostralo

[Robertopphneimer]

è...io ho dimostrato per induzione che vale per una qualunque somma di monomi elevata ad n....però non saprei proprio come dimostrare proprio il binomio e la sua relazione con le combinazioni.

[trugruo]

se hai n oggetti, e vuoi contare il numero di combinazioni dove l'ordine conta , hai n scelte per il primo posto del gruppetto di k elementi che vuoi creare, n-1 per il secondo posto(poichè uno già l'hai usato ormai) ... n-k+1 per il k-esimo posto. Questo prodotto è pari n*(n-1)*....(n-k+1) = n!/(n-k)!
se ora vuoi che l'ordine dei k elementi non conti, ti basta dividere per k!, visto che scelti i k elementi per formare un gruppo, tu stai contando k! gruppetti che differiscono solo per l'ordine, così dividendo per k! li conti una sola volta e ottieni ciò che volevi. In conclusione, n!/( k! (n-k)!) = Bin(n,k)

[Robertopphneimer]

se hai n oggetti, e vuoi contare il numero di combinazioni dove l'ordine conta , hai n scelte per il primo posto del gruppetto di k elementi che vuoi creare, n-1 per il secondo posto(poichè uno già l'hai usato ormai) ... n-k+1 per il k-esimo posto. Questo prodotto è pari n*(n-1)*....(n-k+1) = n!/(n-k)!
se ora vuoi che l'ordine dei k elementi non conti, ti basta dividere per k!, visto che scelti i k elementi per formare un gruppo, tu stai contando k! gruppetti che differiscono solo per l'ordine, così dividendo per k! li conti una sola volta e ottieni ciò che volevi. In conclusione, n!/( k! (n-k)!) = Bin(n,k)

quasi tutto chiaro....due cose : perché n*(n-1)*etc diventa n-k+1 e non solo n-k??
inoltre come fai a ricavare il fattoriale n!/(n-k!) dai vari prodotti??
scusa ma ancora so poco...so solo che n!=n(n-1)! o (n+1)!= n!(n+1)...per il resto come fai a trar fuori anche la divisione per me è un mistero...T_T

[trugruo]

Hai provato a vedere se ciò che ho detto è vero su un esempio?
prendi n=10 e k=4
10*9*8*7
come vedi l'ultimo è n-k+1=10-4+1=7 e non solo n-k
per l'altro punto : 10*9*8*7 è come 10*9*8*7*6*5*4*3*2 / 6*5*4*3*2 ovvero 10!/6!

[Robertopphneimer]

capito!! Ovviamente c'è n-k+1 perché altrimenti se k=n n! =0...e non è possibile..inoltre si hai ragione basta moltiplicare sopra e sotto per (n-k)!