IPERCUBO

Galois85 · Messaggio da **Galois85** » 01 gen 1970, 01:33

riprendiamo la discussione dell\'albergo...
 sull\'ipercubo
 ora ho poko tempo...
 
 vi do le formule che ho trovato in forma asettica...poi se vi va ne discutiamo
 
 n = numero di dimensioni
 
 vertici = 2^n
 numero di lati uscenti da ogni vertice = n
 numero dei spigoli =n*2^(n-1)
 numero di elementi di k dimensioni = n*2^(n-k)
 [ ad esempio numero di faccie = n*n^(n-2)]
 induttivamente mi sembrano giuste però nn ne sono certo...
 attendo risposte
 hola!
 ^_^

bug84 · Messaggio da **bug84** » 01 gen 1970, 01:33

io faccio la tesina sull\'ipercubo e ho trovato un pò di roba (disegni, formulette per costruirlo, qualche collegamento con la relatività...). le formule dovrebbero essere giuste. cerca qualcosa sul tesseratto (la forma \"aperta\" dell\'ipercubo)
 ciao

Mathema · Messaggio da **Mathema** » 01 gen 1970, 01:33

Purtroppo a Cesenatico non ho avuto modo di partecipare alla discussione, tuttavia trovo l\'argomento interessante. Sempre in forma ascetica, io ho trovato una sorta di generalizzazione a quanto dici. Prendiamo un \"cubo\" a n dimensioni (n=1 segmento, n=2 quadrato, n=3 cubo, n=4 ipercubo, ecc.). Ebbene, il numero di componenti a m dimensioni di tale figura (m=0 per i vertici, m=1 per gli spigoli, m=2 per le facce, ecc.) è dato dalla formula
 F(m,n)= 2^(n-m)*c(n,m), dove con c(n,m) si intende il coefficiente binomiale di n oggetti di classe m.

Galois85 · Messaggio da **Galois85** » 01 gen 1970, 01:33

mah...a me sembrava più carina e più facile la mia formula...
 se poi kome mi suggerisce bug84 sono giuste---
 eureka! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

Spider · Messaggio da **Spider** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 n = numero di dimensioni
 
 vertici = 2^n
 numero di lati uscenti da ogni vertice = n
 numero dei spigoli =n*2^(n-1)
 numero di elementi di k dimensioni = n*2^(n-k)
 [ ad esempio numero di faccie = n*n^(n-2)]
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Quest\'ultima non mi torna. Ad esempio un ipercubo ha 32 spigoli, da ogni spigolo partono 3 facce, oggni faccia tocca 4 spigoli. Quindi il numero di facce dovrebbe essere 32/4*3 = 24 e non 4*2^2=16 come risulta da quella formula.
 
 Ciao, Spider

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

la \"sorta di generalizzazione\" è in effetti in conflitto col risultato da generalizzare... a spider come a me sembra giusta la sorta di generalizzazione. A questo punto: quanti k-cubi contiene in totale un n-cubo? (0-cubi=vertici, 1-cubi=spigoli, ..., n-cubo=n-cubo)

Mathema · Messaggio da **Mathema** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-05-14 23:28, DD wrote:
 A questo punto: quanti k-cubi contiene in totale un n-cubo? (0-cubi=vertici, 1-cubi=spigoli, ..., n-cubo=n-cubo)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 ?
 La mia formula nn va bene?

Spider · Messaggio da **Spider** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-05-15 14:35, Mathema wrote:
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-05-14 23:28, DD wrote:
 A questo punto: quanti k-cubi contiene in totale un n-cubo? (0-cubi=vertici, 1-cubi=spigoli, ..., n-cubo=n-cubo)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 ?
 La mia formula nn va bene?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Sembra girare... Come ci sei arrivato?
 
 Spider

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-05-14 23:28, DD wrote:
 in totale
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>

Mathema · Messaggio da **Mathema** » 01 gen 1970, 01:33

Come ho detto, le ho trovate in modo abbastanza ascetico, però due regole le ho trovate:
 1. F(n,0)= 2^n (ogni volta che aggiungi una dimensione, i vertici raddoppiano, e visto che con 0 dimensioni vi è 1 vertice...);
 2. F(n,m)= 2F(n-1,m) + F(n-1,m-1)

Mathema · Messaggio da **Mathema** » 01 gen 1970, 01:33

Ci sono, non è il massimo ma è tutto ciò che sono riuscito a pensare:
 Sappiamo anzitutto che: C(m,n)= C(m-1,n)+C(m-1,n-1)
 Moltiplicando I e II membro per 2^(m-n) otteniamo:
 2(m-n)*C(m,n)= 2^(m-n)*C(m-1,n)+ 2^(m-n)*C(m-1,n-1)= 2*[2^(m-1-n)*C(m-1,n)]+ 2^[(m-1)-(n-1)]*C(m-1,n-1)
 Ponendo F(a,b)= 2^(a-b)*C(a,b) otteniamo infine che (1)
 F(m,n)=2F(m-1,n)+F(m-1,n-1)
 Inoltre, essendo C(m,0)=1 => F(m,0) = 2^(m-0)*C(m,0) = 2^m (2)
 Essendo la (1) e la (2) le proprietà della funzione cercata, segue (o almeno dovrebbe...) che F(m,n)=2^(m-n)*C(m,n) è la funzione cercata.
 ... Mah, dovrebbe andare... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">

fiang1 · Messaggio da **fiang1** » 01 gen 1970, 01:33

secondo voi come è possibile che si riesce a sapere come è fatta 1 cosa che ha 4 dimensioni???

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

I vertici sono 2^n, da ogni vertice partono n spigoli. In un m-cubo da ogni vertice partono m spigoli, perciò in corrispondenza di ciascun vertice ci sono C(n,m) m-cubi. Così però abbiamo contato ogni m-cubo 2^m volte (una per ogni suo vertice), perciò dividiamo, da cui la formula.
 
 \"In totale\" significa: okay, i vertici sono 2^n, gli spigoli sono n*2^(n-1) ecc. Ora, tra vertici, spigoli, facce, gatte, sacche e mogli, in quanti andarono a Camogli?

bug84 · Messaggio da **bug84** » 01 gen 1970, 01:33

se volete vedere com\'è fatto un ipercubo, potete guardare il \"corpus hypercubus\", un quadro di Dalìnel quale Cristo è crocifisso su un tesseratto, oppure le sculture di Pierelli (ha costruito molti solidi di 4 dimensioni...)
 Per rispondere a quell\'ignorante di fiang1, alcune teorie (supportate da un certo Einstein: lo conosci?) affermano che l\'universo è una figura a più di 3 dimensioni: questo spiega perchè, viaggiando avanti nel tempo, ci si ritroverebbe nel passato...
 Già che ci siete, leggete anche \"la casa nuova\" di Heinlein: parla proprio di un ipercubo
 
 ciao!

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

ritento: quanto vale sum[m=0,n] c(n,m)*2^(n-m)?
 Avete un\'interpretazione geometrica del risultato?