Variazione su un tema bocconiano

[FrancescoVeneziano]

Sebbene con risultati miserrimi anch\'io ero a Milano per i giochi della Bocconi, e devo ammettere di aver sbagliato (tra le tante cose) anche l\'ultimo problema sul dodecagono regolare.
<BR>Questo problema ne è una (piuttosto semplice) generalizzazione: dato un poligono regolare di n lati si fissi un vertice e si determini il prodotto delle lunghezze dei segmenti che lo uniscono a tutti gli altri vertici (i due lati adiacenti sono inclusi nel conteggio).
<BR>
<BR>CaO (ossido di calcio)

[WindowListener]

hola! bel problema...
<BR>
<BR>consideriamo il centro dell poligono......
<BR>i segmenti considerati saranno delle corde della circonferenza circoscritta al poligono e indicato con alfa l\'angolo al centro
<BR>
<BR>corda = 2r*sen(alfa/2);
<BR>
<BR>Prodotto dei segmenti =
<BR>(2r)^(n-1)*Prodotto[k:=1 to (n-1)] { Sin(k*180/n)}
<BR>
<BR>ok l\'espressione che ho trovato è pessima..... ho pensato che sfruttando il piano complesso e i vettori si riesca ad ottenere qualcosa di molto meglio...
<BR>solo che nn so come procedere in questo momento.. ad uno più volenteroso il compito ....
<BR>
<BR>wl
<BR>

[Antimateria]

Che carino! Se il raggio dell\'n-agono è r, allora il prodotto cercato è n*r^(n-1). Questo mi fa venire in mente una cosa: l\'area di un cerchio è pi*r^2, mentre la lunghezza della circonferenza è 2pi*r, cioè la derivata rispetto a r. Il volume di una sfera è 4/3 pi*r^3, e la superficie è 4pi*r^2: ancora la derivata. Questi fatti si dimostrano in modo abbastanza banale con un po\' di analisi. Ora, notiamo che la formula risolutiva del problema, n*r^(n-1), è la derivata rispetto a r di r^n. Che si riesca anche qui a darne una qualche spiegazione integralosa? Boh??[addsig]

[mario86x]

bello, peccato non abbia capito quasi niente <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">

[ma_go]

uhm... se fai questa domanda significa che la risposta è positiva E la sai... giusto?
<BR>comunque pare una questione interessante... decisamente interessante!
<BR>si potrebbe considerare questo prodotto come \"misura\" di una varietà (n-1)-dimensionale chiusa che racchiuda una qualche varietà n-dimensionale?
<BR>pare una cosa poco fattibile...
<BR>mah, ci dovrei pensare..
<BR>comunque, anti, hai dato un\'occhiata al post \"quadrati e cubi smussati\"? che dici?

[Mathema]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-05-25 12:19, Antimateria wrote:
<BR>Che carino! Se il raggio dell\'n-agono è r, allora il prodotto cercato è n*r^(n-1)
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Why?

[EvaristeG]

Because Product[k:=1 to (n-1)] { Sin(k*180/n)}=2^(1-n)*n.

[Mathema]

Yes, but why Product[k:=1 to (n-1)] { Sin(k*180/n)}=2^(1-n)*n?