Stage Senior 2012

[scambret]

Ricordatevi che ogni volta che volete risparmiarvi un conto dovete giustificare questo risparmio. Ogni volta.

Esempio: $ m \in \mathbb{N} $, $ x^2+xy+y^2=-m $ allora non ammette soluzioni lo devo giustificare?? O è scontato??

Nel dubbio giustifica, soprattutto se ti ci vuole una riga (suvvia, un po' di buona volontà, la matematica è bella e interessante ma a volte è anche da soffrire).

Va bene buono! Dato che rispondi a tutte le domande, ne approfitto per fartene un'altra. Il lemma di Titu va, obbligatoriamente, dimostrato perchè è più lunghetto. Senza usare Cauchy, lo avevo pensato per prove.
$ \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^2}{a_i} \geq \frac{(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2}{\sum_{i=1}^{n} a_i} $. La stavo dimostrando così: per n=1 è scontata, per n=2 diventa $ \frac{x_1^2}{a_1} + \frac{x_2^2}{a_2} \geq \frac{(x_1+x_2)^2}{a_1+a_2} $ e dopo un pò di passaggi si arriva a $ (xb-ya)^2 \geq 0 $ che è vera. Adesso tento di dimostrarla per n=k. 
$ \sum_{i=1}^{k-1} \frac{x_i^2}{a_i} + \frac{x_k^2}{a_k} \geq \frac{(\sum_{i=1}^{k} x_i)^2}{\sum_{i=1}^{k} a_i} $, ma ciò è vero sostituendo i due addendi nei due addendi di n=2. Può andare?

[<enigma>]

Il lemma T2 NON va dimostrato perché E' Cauchy-Schwarz:
\[\sum_i \frac {a_i^2} {x_i} \geq \frac {\left (\sum_i a_i \right )^2} {\sum_i x_i} \iff \left ( \sum _i \frac {a_i^2} {x_i} \right )\left (\sum_i x_i\right ) \geq \left ( \sum_i \sqrt {\frac {a_i^2} {x_i}} \sqrt {x_i} \right )^2=\left (\sum_i a_i\right )^2 .\]

[scambret]

Il lemma T2 NON va dimostrato perché E' Cauchy-Schwarz:

si ho visto la lezione di algebra, però avevo pensato a un modo più originale di dimostrare Titu! Comunque lo tolgo dalla dimostrazione!

[Anér]

Va bene buono! Dato che rispondi a tutte le domande, ne approfitto per fartene un'altra. Il lemma di Titu va, obbligatoriamente, dimostrato perchè è più lunghetto. Senza usare Cauchy, lo avevo pensato per prove.
$ \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^2}{a_i} \geq \frac{(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2}{\sum_{i=1}^{n} a_i} $. La stavo dimostrando così: per n=1 è scontata, per n=2 diventa $ \frac{x_1^2}{a_1} + \frac{x_2^2}{a_2} \geq \frac{(x_1+x_2)^2}{a_1+a_2} $ e dopo un pò di passaggi si arriva a $ (xb-ya)^2 \geq 0 $ che è vera. Adesso tento di dimostrarla per n=k. 
$ \sum_{i=1}^{k-1} \frac{x_i^2}{a_i} + \frac{x_k^2}{a_k} \geq \frac{(\sum_{i=1}^{k} x_i)^2}{\sum_{i=1}^{k} a_i} $, ma ciò è vero sostituendo i due addendi nei due addendi di n=2. Può andare?

Cosa intendi per sostituire i due addendi nei due addendi di n=2?

[scambret]

Il LHS diventa $ \frac{\sum_{i=1}^{k-1} (x_i^2 * \prod_{i=1}^{k-1} a_i) - \sum_{i=1}^{k-1} x_i^2a_i}{\prod_{i=1}^{k-1} a_i} + \frac{x_k^2}{a_k} $ però non so a quanto possa servire una cosa del genere. A proposito LHS si può scrivere in una dimostrazione??

[Clara]

A proposito LHS si può scrivere in una dimostrazione??

Assolutamente sì, anche se non dà la stessa soddisfazione di WLOG.

[scambret]

A proposito LHS si può scrivere in una dimostrazione??

Assolutamente sì, anche se non dà la stessa soddisfazione di WLOG.

Ahah vero

[nassus95]

Nel A3 alla fine vengono proposte più vie per la risoluzione del problema. A me piace la prima, ma non ho ben capito l'ultimo passaggio.
Dato che entrambe le funzioni sono simmetriche rispetto a 2 rette, deduco che sono periodiche (deduco già anche che sono uguali o, al massimo, traslate di multipli di periodo ?????), ma i polinomi algebrici non sono periodici, o meglio, c'è solo un caso (che sarebbe questo) in cui accade, ovvero in presenza di polinomi del tipo p(x)=COSTANTE, quindi
$$f_1(x)=a \rightarrow f_1(x^2-x+1)=a$$
$$g_1(x)=b \rightarrow g_1(x^2-x+1)=b$$
ma
$f_1(x^2-x+1)=g_1(x^2-x+1) \Rightarrow a=b \Rightarrow f_1(x)=g_1(x)=a$

Correggetemi se sbaglio e ditemi se c'è da aggiungere qualcosa là dove ci sono lacune.

Ma è vero che i polinomi algebrici non sono periodici ???

Io ho trovato quest'informazione da qualche parte ma non sono sicuro che sia vera (non sono sicuro nemmeno di averla letta ma ne ho qualche vago ricordo, non so perchè ). Se così fosse la mia dimostrazione farebbe acqua da tutte le parti.

Se è falsa potete dirmi come sarebbe allora la dimostrazione.
Se è vera potreste spiegarmi perchè lo è ???

Grazie mille e perdonatemi se ha scritto un messaggio troppo lungo

[ghiroz]

Ottengo una condizione su $ \alpha $ :

$ \alpha \leq \frac {n+d-1+ \sqrt{n^2 +d^2 +1+2nd-2n-2d-4dn+8d}}{2} $

Scusa Astersh non capisco perché verifichi soltanto $ \alpha \leq \frac {n+d-1+ \sqrt{n^2 +d^2 +1+2nd-2n-2d-4dn+8d}}{2} $
non dovresti anche controllare che valga $ \alpha \geq \frac {n+d-1- \sqrt{n^2 +d^2 +1+2nd-2n-2d-4dn+8d}}{2} $
Dove sbaglio?

[nassus95]

E' vero che i polinomi (algebrici ???) non sono periodici
se non quando hanno grado nullo?

[<enigma>]

Non sono periodici perché divergono per $x \rightarrow \infty$.

[Elzaralian]

Se a qualcuno interessa, qui ho trovato la dimostrazione carina del $ T_2 $'s Lemma (anche se per qualche motivo io lo conoscevo con il nome di $ SQ $-Lemma)
http://blngcc.files.wordpress.com/2008/ ... harazi.pdf (pagina 65)

Il teorema di cui cercavo il nome è:
se ho un grafo bipartito tra l'insieme $ A $ e $ B $ di cardinalità $ n $, è possibile creare un "sottografo" (ovvero un grafo formato solo dai lati esistenti) in cui ogni nodo $ x $ ha $ f(x) $ connessioni se e solo se per ogni $ X \subseteq A $ e $ Y \subseteq B $ valgono:

• -$ \sum_{a \in A}f(a)=\sum_{b \in B}f(b) $
  
  -$ \sum_{x \in X}f(x) \leq \sum_{b \in B \setminus Y}f(b)+m(X,Y) $

Dove $ m(X,Y) $ è il numero di lati tra $ X $ e $ Y $ nel grafo iniziale.

[nassus95]

Grazie per la risposta <enigma>, però

non ho capito se posso dire che un polinomio è periodico

solo se è di grado nullo

[Astersh]

Ottengo una condizione su $ \alpha $ :

$ \alpha \leq \frac {n+d-1+ \sqrt{n^2 +d^2 +1+2nd-2n-2d-4dn+8d}}{2} $

Scusa Astersh non capisco perché verifichi soltanto $ \alpha \leq \frac {n+d-1+ \sqrt{n^2 +d^2 +1+2nd-2n-2d-4dn+8d}}{2} $
non dovresti anche controllare che valga $ \alpha \geq \frac {n+d-1- \sqrt{n^2 +d^2 +1+2nd-2n-2d-4dn+8d}}{2} $
Dove sbaglio?

Non sbagli bisogna controllarlo, e non viene, infatti non va bene come metodo

[Anér]

Un polinomio non costante non può essere periodico, altrimenti assumerebbe infinite volte lo stesso valore, ovvero esisterebbe un polinomio di grado positivo con infinite radici. Se p(x) è periodico di periodo d, allora sia p(0)=k.
Il polinomio p(x)-k ha come radici 0,d,2d,3d eccetera, radici tutte distinte (almeno finché lavoriamo in campi come Q, R e C).
Il teorema del C8 non so come si chiama, ma come vedi ha un enunciato simile a quello di Hall (una coimplicazione tra un'insieme di disuguaglianze e l'esistenza di qualcosa, con una freccia ovvia), per cui credo sia bene ricordarsi l'idea della dimostrazione (distinguere il caso in cui le disuguaglianze sono tutte strette da quello in cui c'è un caso di uguaglianza) che può sempre tornare utile, più che l'esempio specifico 8che comunque non fa male ricordare).