Equazione funzionale

[zeitgeist505]

Trovare tutte le funzioni $ f $, definite sui numeri reali e che assumono valori reali, che soddisfano l'equazione $ f(x)f(y) = f(x + y) + xy $ per tutti gli $ x,y $ reali.

[xXStephXx]

Ora non so se va bene perchè non sono pratico con queste cose.

Con $ y=0 $ si ha $ f(x)f(0)=f(x) $. Da cui $ f(0)=1 $

Con $ y=1 $ ho $ f(x)f(1) = f(x+1)+x $
Con $ y=-1 $ e passando da $ x $ ad $ x+1 $ ottengo: $ f(x+1)f(-1) = f(x) -x-1 $

Mettendo a sistema quelle due relazioni trovate si ottiene:
$ f(x)(f(1)f(-1)-1) = x(f(-1)-1)+1 $

Ponendo nell'equazione di partenda $ x=1, y=-1 $ si ottiene $ f(1)f(-1) = f(0)-1 = 0 $
Quindi sostituisco l'ultima cosa trovata e ottengo: $ f(x)= -(f(-1)-1)x +1 $
Da qui ci sono due casi:
Siccome $ f(1)f(-1) = 0 $ o $ f(-1)=0 $ e quindi si arriva a $ f(x)=x+1 $
oppure $ f(1)=0 $
E quindi sostituendo $ f(1) $ con $ 0 $ nell'equazione in alto che conteneva $ f(1) $ ottengo:
$ f(x+1)=-x $ Da cui traslando arrivo a $ f(x)=1-x $

Quindi alla fine le due funzioni possibili sono solo:
$ f(x) = x+1 $ ed $ f(x) = 1-x $
Facendo la verifica ottengo che entrambe soddisfano per ogni $ x,y \in \mathbb{R} $

[zeitgeist505]

Allora attendiamo fonti più autorevoli che neanch'io sono troppo pratico con le funzionali
L'ho svolto diversamente ma ottengo stesse soluzioni più $ f(x)=0 $ (che ti sei mangiato alla prima riga della tua risposta)

[xXStephXx]

Non so/non penso che $ f(x)=0 $ sia una soluzione.
Otterresti $ xy=0 $ che non è soddisfatta per tutti gli $ x,y \in \mathbb{R} $

[zeitgeist505]

ricontrollassi quello che faccio
Ne ho scritta una enorme

[matty96]

La mia non consta di tanti passaggi(spero di non scrivere cavolate...è da un bel pò che non faccio problemi perchè sono stato impegnato con esami al conservatorio compreso quello d'ottavo)
Se x=0 ho $f(0)f(y)=f(y)$ da cui $f(0)=1$. Se x=-y ottengo $f(x)f(-x)=1-x^2$ e ponendo x=1 ottengo o $f(1)=0$ o f(-1)=0. Nel primo caso pongo x=1 da cui f(x+1)=-x, quindi $f(x)=1-x$ , nel secondo caso pongo x=-1 e con analogo procedimento ottengo $f(x)=x+1$