Un intero positivo si dice strettamente crescente se le cifre della sua rappresentazione decimale compaiono in ordine strettamente crescente. Ad esempio 1389 e 4567 sono strettamente crescenti, mentre 1335, 1327, e 9730 non lo sono.
Determinare quanti sono gli interi strettamente crescenti compresi tra 1000 e 9999.
Numeri crescenti
Re: Numeri crescenti
Prima considerazione: se la cifra delle migliaia è $ 7 $, $ 8 $ o $ 9 $ chiaramente non esiste alcun numero crescente.
1)Considero il caso in cui la cifra delle migliaia è uguale ad $ 1 $.
Suppongo che le centinaia abbiano cifra $ 2 $, le decine $ 3 $. Abbiamo quindi il numero $ 123x $, ora $ x $ può assumere 6 valori diversi. Aumentando la cifra delle decine di $ 1 $, il numero delle $ x $ diminuisce di 1.
Quindi rimanendo fisse la cifra delle centinaia e ruotando quelle delle decine in totale la $ x $ assume $ \frac{6\cdot 7}{2} $ valori.
Con lo stesso procedimento, faccio ruotare la cifra delle centinaia, quindi la $ x $ può assumere in totale ben:
$ \displaystyle \sum_{i=1}^6 \dfrac{i(i+1)}{2} $, che sarebbe poi il numero di numeri crescenti aventi come cifra delle migliaia 1. Scritto più comodamente
6+5+4+3+2+1,
5+4+3+2+1,
4+3+2+1,
3+2+1,
2+1,
1
2) Sfruttando sempre questo fatto si nota facilmente che sostituendo ruotando la cifra delle migliaia alcune delle somme scritte sopra scompaiono, se la cifra è uguale a $ 2 $, scompare la catena con il $ 6 $, se la cifra è uguale a $ 3 $, scompare la catena con il 5 e con il 6.
Con tutte queste affermazioni si deduce che il numero totale di numeri crescenti è:
$ \displaystyle \sum_{i=1}^6 (7-i)\dfrac{i(i+1)}{2}=126 $.
1)Considero il caso in cui la cifra delle migliaia è uguale ad $ 1 $.
Suppongo che le centinaia abbiano cifra $ 2 $, le decine $ 3 $. Abbiamo quindi il numero $ 123x $, ora $ x $ può assumere 6 valori diversi. Aumentando la cifra delle decine di $ 1 $, il numero delle $ x $ diminuisce di 1.
Quindi rimanendo fisse la cifra delle centinaia e ruotando quelle delle decine in totale la $ x $ assume $ \frac{6\cdot 7}{2} $ valori.
Con lo stesso procedimento, faccio ruotare la cifra delle centinaia, quindi la $ x $ può assumere in totale ben:
$ \displaystyle \sum_{i=1}^6 \dfrac{i(i+1)}{2} $, che sarebbe poi il numero di numeri crescenti aventi come cifra delle migliaia 1. Scritto più comodamente
6+5+4+3+2+1,
5+4+3+2+1,
4+3+2+1,
3+2+1,
2+1,
1
2) Sfruttando sempre questo fatto si nota facilmente che sostituendo ruotando la cifra delle migliaia alcune delle somme scritte sopra scompaiono, se la cifra è uguale a $ 2 $, scompare la catena con il $ 6 $, se la cifra è uguale a $ 3 $, scompare la catena con il 5 e con il 6.
Con tutte queste affermazioni si deduce che il numero totale di numeri crescenti è:
$ \displaystyle \sum_{i=1}^6 (7-i)\dfrac{i(i+1)}{2}=126 $.
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »
- Karl Zsigmondy
- Messaggi: 138
- Iscritto il: 09 lug 2011, 14:32
- Località: Città di Altrove, Kansas
Re: Numeri crescenti
Oppure i numeri sono $ \binom{9}{4}=126 $, perché sono i modi di scegliere 4 numeri distinti da 1 a 9 (che poi possono essere ordinati in un solo modo).
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi."
"Life is very short and there's no time for fussing and fighting, my friend!"
"Life is very short and there's no time for fussing and fighting, my friend!"
Re: Numeri crescenti
Wow, potresti spiegare meglio come sei giunto a quel risultato, non ci avrei mai pensato.
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »
- Karl Zsigmondy
- Messaggi: 138
- Iscritto il: 09 lug 2011, 14:32
- Località: Città di Altrove, Kansas
Re: Numeri crescenti
Parti dal fatto che le 4 cifre sono distinte, quindi c'è una bigezione sostanzialmente fra i sottoinsiemi di {1,2,3,4,5,6,7,8,9} formati da 4 elementi e i numeri richiesti. Infatti ad ogni numero posso associare il sottoinsieme formato dalle 4 cifre distinte che lo costituiscono, e ad ogni sottoinsieme posso associare il numero se metto le cifre in ordine crescente. Quindi il risultato è uguale al numero di sottoinsiemi distinti di {1,2,3,4,5,6,7,8,9} formati da 4 elementi, che è proprio $ \binom{9}{4} $.
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi."
"Life is very short and there's no time for fussing and fighting, my friend!"
"Life is very short and there's no time for fussing and fighting, my friend!"
Re: Numeri crescenti
Ok, tutto chiaro, grazie mille per la spiegazione!
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »