Trovare la costante!

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Rispondi
LeZ
Messaggi: 284
Iscritto il: 08 mag 2011, 21:28

Trovare la costante!

Messaggio da LeZ »

Trovare la costante massima $ K $, che verifica la disuguaglianza per ogni $ a,b,c,K $ reali positivi non nulli
$ a^6+b^3+c^2\geq Kabc $
Ultima modifica di LeZ il 23 mag 2012, 14:40, modificato 2 volte in totale.
spugna
Messaggi: 421
Iscritto il: 19 mar 2009, 22:18
Località: Forlì

Re: Trovare la costante!

Messaggio da spugna »

Ma se prendo $b<0$ e $a=c=0$ non viene impossibile?
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)
Avatar utente
lama luka
Messaggi: 326
Iscritto il: 05 feb 2009, 22:21
Località: cittadino del mondo

Re: Trovare la costante!

Messaggio da lama luka »

"0000"

Ops, non siamo in gara a squadre..

Anche io voto per il "è impossibile", senza citare un altro controesempio, basta quello di spugna..
Se per caso tu avessi dimenticato "reali positivi" allora piazzo un mitico K=0 (o qualsiasi k negativo)
Non siamo mica qui a raddrizzare banane col culo !

è Ragionevole!

44 gatti [tex]\equiv 2 \pmod{6}[/tex]

E questo come lo risolvo?-L.Lamanna,G.Grilletti (2009)
Tre anni di quaestio copernicana - C.Càssola, F.M.Antoniali, L.Lamanna (2012)
Cinque anni di Copernicus Math Race - L.Lamanna (2016)

[tex]!n=n! \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}[/tex]
Simo_the_wolf
Moderatore
Messaggi: 1053
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pescara

Re: Trovare la costante!

Messaggio da Simo_the_wolf »

Forse si intendeva $ a,b,c $ reali positivi, immagino...
Avatar utente
lama luka
Messaggi: 326
Iscritto il: 05 feb 2009, 22:21
Località: cittadino del mondo

Re: Trovare la costante!

Messaggio da lama luka »

Infatti, ma come ho detto in quel caso basterebbe K=0 o k negativo.. Forse con a,b,c reali positivi e K positivo si riesce ad ottenere qualcosa? (Domanda mia, visto che non me ne intendo..)
Non siamo mica qui a raddrizzare banane col culo !

è Ragionevole!

44 gatti [tex]\equiv 2 \pmod{6}[/tex]

E questo come lo risolvo?-L.Lamanna,G.Grilletti (2009)
Tre anni di quaestio copernicana - C.Càssola, F.M.Antoniali, L.Lamanna (2012)
Cinque anni di Copernicus Math Race - L.Lamanna (2016)

[tex]!n=n! \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}[/tex]
LeZ
Messaggi: 284
Iscritto il: 08 mag 2011, 21:28

Re: Trovare la costante!

Messaggio da LeZ »

Che sbadato! $ a,b,c,K $ reali positivi non nulli! Modifico
Avatar utente
Tess
Messaggi: 272
Iscritto il: 15 set 2009, 14:20
Località: Maserada s. P.

Re: Trovare la costante!

Messaggio da Tess »

(Aiutino)
Beh, sembra tanto una AM-GM, no?
LeZ
Messaggi: 284
Iscritto il: 08 mag 2011, 21:28

Re: Trovare la costante!

Messaggio da LeZ »

L'aiutino è proprio AM - GM :D
Mist
Messaggi: 542
Iscritto il: 01 gen 2011, 23:52
Località: Provincia di Milano

Re: Trovare la costante!

Messaggio da Mist »

Alur, per prima cosa si ciclano le variabili e si ottiene sommando le tre disequazioni che si ottengono in tal modo che

$\frac{\sum a^6+\sum b^3 +\sum c^2}{abc} \geq 3K$
A questo punto per AM-GM sulle varie $\sum$ (che non sono altro che somme cicliche nelle variabili date) che $\frac{\sum a^6+\sum b^3 +\sum c^2}{abc}\geq 3\cdot \frac{ (abc)^2+abc+{(abc)}^{\frac{2}{3}}}{abc} \geq 3K$ Si pone $abc = \mu$, si ottiene una funzione in una variabile: $\mu +1+\frac{\sqrt[3]{\mu} \geq k$ E da qui boh, con una derivata si ottiene la k... Avrò detto qualche castroneria forse, non so :P
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
LeZ
Messaggi: 284
Iscritto il: 08 mag 2011, 21:28

Re: Trovare la costante!

Messaggio da LeZ »

Non incasinarti con derivate e simili, come potresti scrivere per esempio $ a^6 $?
xXStephXx
Messaggi: 472
Iscritto il: 22 giu 2011, 21:51

Re: Trovare la costante!

Messaggio da xXStephXx »

Va bene AM-GM con i seguenti numeri?
$ \displaystyle \frac{a^6}{2}, \frac{a^6}{2}, \frac{b^3}{4}, \frac{b^3}{4},\frac{b^3}{4} ,\frac{b^3}{4}, \frac{c^2}{6}, \frac{c^2}{6}, \frac{c^2}{6}, \frac{c^2}{6}, \frac{c^2}{6}, \frac{c^2}{6} $..
LeZ
Messaggi: 284
Iscritto il: 08 mag 2011, 21:28

Re: Trovare la costante!

Messaggio da LeZ »

Molto bene vai pure avanti :D
xXStephXx
Messaggi: 472
Iscritto il: 22 giu 2011, 21:51

Re: Trovare la costante!

Messaggio da xXStephXx »

Con AM-GM si ottiene:

$ \displaystyle \frac{a^6+b^3+c^2}{12} \geq \sqrt[12]{\frac{a^{12} b^{12} c^{12}}{6^6 \cdot 4^4 \cdot 2^2} } $
Che diventa:

$ \displaystyle a^6+b^3+c^2 \geq \frac{12}{\sqrt[12]{6^6 \cdot 4^4 \cdot 2^2}} \cdot abc $
Quindi k dovrebbe essere il coefficiente di abc, che in teoria si potrebbe scrivere in una forma un po' più carina :D
LeZ
Messaggi: 284
Iscritto il: 08 mag 2011, 21:28

Re: Trovare la costante!

Messaggio da LeZ »

Beh non è molto bello XD comunque se non ho cannato i conti, $ 2^{2\over3}\cdot{3^{1\over2}} $
Rispondi