Sono calati dall'alto dei numeri reali $p_1$, $p_2$, ... $p_n$ compresi strettamente tra 0 e 1 e con somma 1. Voi dovete trovare tutte le $n$-uple di reali $q_1$, $q_2$, ... $q_n$, anche loro compresi strettamente tra 0 e 1 e con somma 1, che rendano massima la quantità
$ \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \log{q_i}$.
Buon $lavoro^3$
Mediamo i logaritmi
Mediamo i logaritmi
Presidente della commissione EATO per le IGO
Re: Mediamo i logaritmi
Ok, effettivamente si tratta di un problema difficile. Quindi vi lascio un aiutino sotto forma di soluzione corretta: anche cercare di dimostrare che si tratta di quella giusta è una bella sfida.
Chiaramente esiste (almeno) una soluzione elementare, e mi aspetto che qualcuno la trovi; tuttavia volendo si risolve in modo abbastanza standard con l'analisi.
Chiaramente esiste (almeno) una soluzione elementare, e mi aspetto che qualcuno la trovi; tuttavia volendo si risolve in modo abbastanza standard con l'analisi.
Testo nascosto:
Presidente della commissione EATO per le IGO
Re: Mediamo i logaritmi
Credevo di saperlo risolvere solo partendo da numeri razionali, poi ho scoperto la disuguaglianza di Young!!
Prima di tutto abbiamo $\sum\limits_{i=1}^n p_i \log q_i=\sum\limits_{i=1}^n \log q_i^{p_i}=\log \prod\limits_{i=1}^n q_i^{p_i}=\log \left[ \prod\limits_{i=1}^n \left( \dfrac{q_i}{p_i} \right)^{p_i} \cdot \prod\limits_{i=1}^n p_i^{p_i} \right]$
Il secondo prodotto è una costante, perciò mi preoccupo del primo. Ora, per la suddetta disuguaglianza, so che comunque presi dei reali positivi $x_1,x_2,..x_n$ e $\vartheta_1,\vartheta_2,..\vartheta_n$ con $\sum\limits_{i=1}^n \vartheta_i=1$ si ha
$\prod\limits_{i=1}^n x_i \le \sum\limits_{i=1}^n \vartheta_i x_i^{1/\vartheta_i}$
In particolare, ponendo $x_i=\left( \dfrac{q_i}{p_i} \right)^{p_i}$ e $\vartheta_i=p_i$, ottengo $\prod\limits_{i=1}^n \left( \dfrac{q_i}{p_i} \right)^{p_i} \le \sum\limits_{i=1}^n q_i=1$
Ricordando le osservazioni fatte all'inizio abbiamo $\sum\limits_{i=1}^n p_i \log q_i \le \log \prod\limits_{i=1}^n p_i^{p_i}=\sum\limits_{i=1}^n p_i \log p_i$
Confrontando il primo e il terzo membro risulta evidente che si ha l'uguaglianza se $q_i=p_i$ $\forall 1 \le i \le n$
Prima di tutto abbiamo $\sum\limits_{i=1}^n p_i \log q_i=\sum\limits_{i=1}^n \log q_i^{p_i}=\log \prod\limits_{i=1}^n q_i^{p_i}=\log \left[ \prod\limits_{i=1}^n \left( \dfrac{q_i}{p_i} \right)^{p_i} \cdot \prod\limits_{i=1}^n p_i^{p_i} \right]$
Il secondo prodotto è una costante, perciò mi preoccupo del primo. Ora, per la suddetta disuguaglianza, so che comunque presi dei reali positivi $x_1,x_2,..x_n$ e $\vartheta_1,\vartheta_2,..\vartheta_n$ con $\sum\limits_{i=1}^n \vartheta_i=1$ si ha
$\prod\limits_{i=1}^n x_i \le \sum\limits_{i=1}^n \vartheta_i x_i^{1/\vartheta_i}$
In particolare, ponendo $x_i=\left( \dfrac{q_i}{p_i} \right)^{p_i}$ e $\vartheta_i=p_i$, ottengo $\prod\limits_{i=1}^n \left( \dfrac{q_i}{p_i} \right)^{p_i} \le \sum\limits_{i=1}^n q_i=1$
Ricordando le osservazioni fatte all'inizio abbiamo $\sum\limits_{i=1}^n p_i \log q_i \le \log \prod\limits_{i=1}^n p_i^{p_i}=\sum\limits_{i=1}^n p_i \log p_i$
Confrontando il primo e il terzo membro risulta evidente che si ha l'uguaglianza se $q_i=p_i$ $\forall 1 \le i \le n$
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
Maledetti fisici! (cit.)
Maledetti fisici! (cit.)
Re: Mediamo i logaritmi
Bene!
A parte quella analitica, che usa concetti diversi, tutte le soluzioni che ho visto si rifanno in qualche modo alla concavit`a del logaritmo, e anche quella di spugna. Infatti la diseguaglianza di Young discende direttamente dalla concavit`a del logaritmo: come?
A parte quella analitica, che usa concetti diversi, tutte le soluzioni che ho visto si rifanno in qualche modo alla concavit`a del logaritmo, e anche quella di spugna. Infatti la diseguaglianza di Young discende direttamente dalla concavit`a del logaritmo: come?
Presidente della commissione EATO per le IGO
Re: Mediamo i logaritmi
Hint:Il_Russo ha scritto:Bene!
A parte quella analitica, che usa concetti diversi, tutte le soluzioni che ho visto si rifanno in qualche modo alla concavit`a del logaritmo, e anche quella di spugna. Infatti la diseguaglianza di Young discende direttamente dalla concavit`a del logaritmo: come?
Testo nascosto:
Anti-intellectualism has been a constant thread winding its way through our political and cultural life. Nurtured by the false notion that democracy means that "My ignorance is just as good as your knowledge. "