Sistema

[pepperoma]

Trovare tutti i numeri reali $ a,b,c,d $ tali che $ ab+c+d=3, bc+d+a=5, cd+a+b=2, da+b+c=6. $

[Hawk]

Allora, il sistema è questo:
$ \begin{cases} 1)ab+c+d=3 \\ 2)bc+a+d=5 \\ 3)cd+a+b=2 \\ 4)ad+b+c=6 \end{cases} $
Notiamo che la somma 1+2=3+4, da questa uguaglianza ricavo: $ (b-d)(a+c-2)=0 $, da cui $ b=d $ o $ a=2-c $.
Sostituendo $ b=d $ si nota che il sistema diventa impossibile, infatti si ottengono due equazione che hanno lo stesso LHS ma diverso RHS.
Deduciamo quindi che $ a=2-c $ e sostituiamo, ottenendo:
$ \begin{cases} 1_1)2b-bc+c+d=3 \\ 2_1)bc-c+d=3 \\ 3_1)cd-c+b=0 \\ 4_1)2d-dc+b+c=6 \end{cases} $
Ovviamente 1_1=2_1, sommando le equazioni si ottiene $ d=3-b $.
Sostituisco nuovamente ottenendo:
$ \begin{cases} 1_2)b-bc+c=0 \\ 2_2)bc-c-b=0 \\ 3_2) 2c-bc+b=0 \\ 4_2)bc-2c-2b=0 \end{cases} $
Notiamo che moltiplicando per $ -1 $ l'equazione $ 3_2 $ ed uguagliandola ad $ 2_2 $ si ottiene $ c=0 $.
Da cui si ricava facilmente $ b=0 $, $ a=2 $ e $ d=3 $.
Delle sedici quadruple risolutive del sistema l'unica reale è $ (a,b,c,d)=(2,0,0,3) $.