Disuguaglianza facile facile!!!

[mattteo]

Porbablilmente è gia stata postata ma visto che l'ho risolta la metto comunque:

Mostrare che per ogni a,b,c reali positivi vale:

$ \frac{a+b}{c} $$ + $$ \frac{a+c}{b} $$ + $$ \frac{b+c}{a} $$ \geqslant{\frac{3}{2}} $

Per quali valori vale l'uguaglianza??

[alunik]

Riscrivo come $ \frac{a+b+c}{c} $+$ \frac{a+b+c}{b} $+ $ \frac{a+b+c}{a} $ $ \geqslant{\frac{9}{2}} $
e $ (a+b+c)( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geqslant{\frac{9}{2}} $
per AM-GM su terne (a,b,c) e (1/a,1/b,1/c) si trova che LHS$ \geqslant{9} $
e boh non mi torna quel fratto due...

[mattteo]

Il tuo è giusto ma io ho sbagliato a scrivere il testo!!!

era:

$ \frac{a}{c+b} $$ + $$ \frac{c}{b+a} $$ + $$ \frac{b}{c+a} $$ \geqslant{\frac{3}{2}} $

[alunik]

L'idea può essere la stessa solo che metto $ \frac{1}{2}(a+b+b+c+c+a)( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geqslant{\frac{9}{2}} $
e applico AM-GM alle terne (a+b,b+c,c+a) e (1/(a+b), 1/b+c), 1/(c+a))

[mattteo]

Non capisco il tuo primo passaggio!!

Io ho fatto cosi:
$ x=a+b $;$ y=a+c $;$ z=b+c $
Notando che $ 2a=x+y-z $ abbiamo che
$ \frac{x}{y} $$ + $$ \frac{y}{x} $$ + $$ \frac{z}{x} $$ + $$ \frac{x}{z} $$ + $$ \frac{z}{y} $$ + $$ \frac{y}{z} $$ \geqslant{6} $.
Basta mostrare ora che per ogni p e q positivi vale che $ \frac{p}{q} $$ + $$ \frac{q}{p} $$ \geqslant{2} $. che è equivalente a $ (p-q)^2 $]$ \geqslant{0} $ che è sempre vero.

[alunik]

Sí la tua é un altro modo,
io semplicemente faccio: $ \frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}-3\geqslant{\frac{3}{2}} $ dato che le frazioni le puoi spezzare.