Esercizietto coi complessi

[Sonner]

Sia $P(x)=x^2+px+q^2$ a coefficienti complessi. Mostrare che se le due radici del polinomio hanno lo stesso modulo allora $\frac{p}{q}$ è un numero reale.

[Mist]

Chiamo le due soluzioni dell'equazione $x_1= \rho e^{ix} =\rho ( i\sin{x}+\cos{x})$ e $x_2= \rho e^{iy} = \rho (i\sin{y}+\cos{y})$. Per le formule di vietè e poi per quelle di prostaferesi, $\displaystyle p= -\rho i(\sin{x}+\sin{y})-\rho (\cos{x}+\cos{y})=-\rho 2i\sin{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}}-\rho 2\cos{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}} =-2\rho \cos{\frac{x-y}{2}}\left( i\sin{\frac{x+y}{2}}+\cos{\frac{x+y}{2}}\right) $.
D'altra parte, sempre per le formule di vietè e successivamente per le formule di de moivre, $\displaystyle q = \sqrt{x_1x_2} = \rho e^{i\frac{x+y}{2}} =\rho \left( i\sin{\frac{x+y}{2}}+\cos{\frac{x+y}{2}}\right)$. Facendo il rapporto si ottiene che $\displaystyle \frac{p}{q} = -2\cos{\frac{x-y}{2}}\in \mathbb{R}$

[ma_go]

e se vi dicessi che c'è una soluzione (quasi completamente) senza conti?

[balossino]

Credo che il topic andrebbe spostato in matematica non elementare...

[ma_go]

su, utenti giovani! non fatevi spaventare da tanti seni e coseni, vi garantisco che c'è una soluzione che non li nomina, e che è elementare (almeno tanto quanto la nozione di numero complesso).

[<enigma>]

Più semplice.

Testo nascosto:

Serve $\arg p \equiv \arg q \pmod \pi$; se $\alpha$ e $\beta$ sono le due radici, vogliamo dimostrare che $\arg(-\alpha-\beta)\equiv\arg \sqrt{\alpha \beta}$. Poiché $\arg(-z) \equiv \arg z$, $\arg(zw)=\arg z+\arg w$ e $\arg \sqrt z = \frac 1 2 \arg z$, rimane $\arg (\alpha+\beta) \equiv \frac 1 2 (\arg \alpha+\arg \beta)$, che è vera perché $|\alpha|=|\beta|$.

Credo che il topic andrebbe spostato in matematica non elementare...

I numeri complessi sono programma standard per le olimpiadi, e anche programma scolastico di 3° liceo a quanto ne so io, dunque direi che non sono meno elementari di tante altre cose su cui si scrive in questa sezione.

[doiug.8]

$|x_1|=|x_2|$
$|\sqrt{p^2-4q^2}-p|=|-\sqrt{p^2-4q^2}-p|$
$p=0 \vee p=\pm 2q$
$\frac{p}{q}=0 \vee \frac{p}{q}=\pm 2$

Ho scritto una stronzata?

[<enigma>]

$|x_1|=|x_2|$
$|\sqrt{p^2-4q^2}-p|=|-\sqrt{p^2-4q^2}-p|$
$p=0 \vee p=\pm 2q$
$\frac{p}{q}=0 \vee \frac{p}{q}=\pm 2$

Ho scritto una stronzata?

Purtroppo stai parlando di numeri complessi: a differenza del valore assoluto coi reali, per il modulo $|z|=|w|$ non implica $z=\pm w$ se $z, w, \in \mathbb C$.

[doiug.8]

$|x_1|=|x_2|$
$|\sqrt{p^2-4q^2}-p|=|-\sqrt{p^2-4q^2}-p|$
$p=0 \vee p=\pm 2q$
$\frac{p}{q}=0 \vee \frac{p}{q}=\pm 2$

Ho scritto una stronzata?

Purtroppo stai parlando di numeri complessi: a differenza del valore assoluto coi reali, per il modulo $|z|=|w|$ non implica $z=\pm w$ se $z, w, \in \mathbb C$.

Pensandoci meglio, sul piano di Gauss il luogo dei punti che hanno lo stesso modulo è una circonferenza, quindi ciò che ho scritto è più di una stronzata