Finanziare le scuole

[razorbeard]

Il provveditorato agli studi di Roma dispone di 24 milioni di Euro ed ha una lista di 10 scuole da finanziare con tali fondi. In quanti modi diversi lo può fare se
decide di distribuire tutto il denaro che ha a disposizione, destinando a ciascuna scuola della lista 1, 2 o 3 milioni di Euro?

[Mist]

Il provveditorato agli studi di Roma dispone di 24 milioni di Euro ed ha una lista di 10 scuole da finanziare con tali fondi. In quanti modi diversi lo può fare se
decide di distribuire tutto il denaro che ha a disposizione, destinando a ciascuna scuola della lista 1, 2 o 3 milioni di Euro?

Ad ogni scuola inizio dando un milione d'euro. Ora, potrò dare k milioni ad altre scuole, tra le 10 e le 7. Tra queste $k$ (con $k$ come detto tra 10 e 7) scuole a cui darò un'altro milione d'euro ce ne sono $14-j$. Posso scegliere come mettere i primi in $\displaystyle \binom{10}{j}$, i secondi in $\displaystyle \binom{j}{14-j}$, e quindi in tutto posso dare i soldi in:
$\displaystyle \sum_{j=7}^{10}\binom{10}{j}\binom{j}{14-j} =\displaystyle \binom{10}{4}\binom{10}{10}+\binom{10}{9}\binom{9}{5}+\binom{10}{8}\binom{8}{6}+\binom{10}{7}\binom{7}{7}=2850$ modi.