Trovare i rettangoli

[razorbeard]

Quanti sono i diversi rettangoli aventi il perimetro che, espresso in centimetri, è un numero intero di al massimo 3 cifre, mentre l’area è di $308cm^2$?
(N.B. due rettangoli vanno considerati uguali, e quindi contati una volta sola, se hanno gli stessi lati, senza tener conto di quale sia la base e quale l’altezza).

[karlosson_sul_tetto]

$ 308=2^2 \cdot 7 \cdot 11 $
Le possibili combinazioni della lunghezza di un lato sono: $ 3\cdot 2 \cdot 2= 12 $
Dividiamo per due, dato che la situazione è simmetrica, e viene 6

[razorbeard]

Le misure dei lati dei rettangoli non devono essere per forza intere

[Karl Zsigmondy]

I lati sono della forma k e 308/k con k reale. Dato che il perimetro è intero ho che $ 2(k + \frac{308}{k})=n $ con n intero positivo. Da cui segue che $ k=\frac{n \pm \sqrt{n^2-4928}}{4} $.
Analizzando il discriminante si ottiene che $ n \geq 71 $
Dal momento che il perimetro ha al più 3 cifre, imponendo $ 2(k + \frac{308}{k}) \leq 999 $ si ottiene che $ 2k^2-999k+616 \leq 0 $.
Nel caso di $ k=\frac{n - \sqrt{n^2-4928}}{4} $ ottengo $ (n-999)(n-\sqrt{n^2-4928}) \leq 0 $ che vale evidentemente solo se $ n \leq 999 $. Similmente se $ k=\frac{n + \sqrt{n^2-4928}}{4} $ ottengo $ (n-999)(n+\sqrt{n^2-4928}) \leq 0 $ che vale solo se $ n \leq 999 $.
Quindi per ogni $ 71 \leq n \leq 999 $ ho ottenuto due valori di k (in totale 1858), ma ognuno viene contato due volte (k e 308/k) quindi in realtà sono 929 i valori possibili.