Disuguaglianza dalla Normale: trova la costante

[Mist]

Trovare la massima costante $M$ per cui valga che $(a+b+c+d)^2 \geq M(ab+bc+cd)$

[balossino]

a, b, c, d compresi nell'insieme dei reali?

[Mist]

Chiedo scusa, me n'ero dimenticato: $(a,b,c,d)$ è una quaterna di numeri reali positivi.

[ale.b]

Ponendo $a=b=1, c=d=0$ si ha $M\leq4$. Dimostro che con $M=4$ vale la disuguaglianza:

$(a+b+c+d)^2\geq4(ab+bc+cd) \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd\geq4ab+4bc+4cd$
$ \Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2+d^2-2ab+2ac-2ad-2bc+2bd-2cd)+4ad\geq0 \Leftrightarrow (a-b+c-d)^2+4ad\geq0$

[Mist]

Io avevo fatto così: Per prima cosa constato che $M$ rimane la stessa per $(a+b+c+d)^2 \geq M(ba+ad+dc)$. Pongo quindi WLOG $a+b+c+d=1$. Per AM-GM ho che $2(ab+bc+cd) \leq a^2+2(b^2+c^2)+d^2 = (1-b-c)^2-2ad+2(b^2+c^2)$ che porta a $2(ab+ad+dc) \leq 3(b^2+c^2)-2(b+c)+1$. Il RHS raggiunge il suo massimo quando $b=c$. La somma di questi due numeri può dare al massimo $1$, e quindi $b=c=\frac{1}{2}$. Da ciò si ottiene che $\displaystyle (ba+ad+dc)\leq \frac{1}{4} = \frac{1}{M}$. $M=4$

P.S. stanotte ho ripensato all'ultimo passaggio e ho scoperto che con jensen uscirebbe in modo del tutto "rigoroso", così non farei quella sbandata dopo tutta sta dimostrazione formalosa a confronto di quella dell'utente qui sopra