2 esercizi in 3 variabili

[razorbeard]

1)Dimostrare che ogni numero intero $n$ può essere scritto nella forma $n=a^2+b^2-c^2$ dove $a,b$ e $c$ sono opportuni numeri interi.
2) Dimostrare che l'equazione $a^2+b^2=c^2+3$ ha infinite soluzioni con $a,b,c$ interi.

[Triarii]

1)Ogni naturale dispari può essere espresso come differenza di quadrati consecutivi: infatti $ (n+1)^2-n^2=2n+1 $
Posso quindi ottenere ogni dispari da $ a^2-c^2 $. Assegnando a $ b^2 $ valori di 0 e 1 (entrambi quadrati perfetti) posso quindi ottenere anche tutti i pari.
Per ottenere lo 0 basta che a b e c siano uguali a 0.

[Claudio.]

2) $c=b+k\Rightarrow a^2=2bk+k^2+3\Rightarrow b=\frac{a^2-k^2-3}{2k}$ da cui deve valere $a^2 \equiv3 \pmod k$ adesso puoi scegliere una qualsiasi k per cui 3 è residuo quadratico, 1 va benissimo: $b=\frac{a^2-4}2$ da cui $(2n, 2n^2-2,2n^2-1)$

Si riescono a trovare tutte le soluzioni?

[kalu]

Caso generale: $ n=a^2+b^2-c^2 $ ha infinite soluzioni intere per ogni $ n \in Z $.

Sia $ (x, y) $ una coppia di interi coprimi e di differente parità.

Se $ n $ è pari, $ \displaystyle n=2k= \left( \frac{(x^2-y^2)(2k- \alpha^2 + \beta ^2-1)}{2} + \alpha \right)^2+ \left(xy(2k- \alpha^2 + \beta ^2-1) +1 \right)^2 - \left( \frac{(x^2+y^2)(2k- \alpha^2 + \beta ^2-1)}{2} + \beta \right)^2 $
dove $ \alpha $ e $ \beta $ sono tali che $ \alpha(x^2-y^2)-\beta(x^2+y^2)=1-2xy $ (esistono per il teorema di Bézout).

Se $ n $ è dispari, $ \displaystyle n=2k-1= \left( \frac{(x^2-y^2)(2k- \alpha^2 + \beta ^2-1)}{2} + \alpha \right)^2+ \left(xy(2k- \alpha^2 + \beta ^2-1) \right)^2 - \left( \frac{(x^2+y^2)(2k- \alpha^2 + \beta ^2-1)}{2} + \beta \right)^2 $
dove $ \alpha $ e $ \beta $ sono tali che $ \alpha(x^2-y^2)-\beta(x^2+y^2)=1 $ (esistono per il teorema di Bézout).

[kalu]

Si riescono a trovare tutte le soluzioni?

Me la vedo molto dura

[Claudio.]

Non ti nascondo che tutto ciò che hai scritto mi sembra davvero arcano

[kalu]

Non ti nascondo che tutto ciò che hai scritto mi sembra davvero arcano

$ \displaystyle \left( \frac{(x^2-y^2)(2k- \alpha^2 + \beta ^2-1)}{2} + \alpha \right)^2+ \left(xy(2k- \alpha^2 + \beta ^2-1) +1 \right)^2 - \left( \frac{(x^2+y^2)(2k- \alpha^2 + \beta ^2-1)}{2} + \beta \right)^2= $
$ =\displaystyle \left(\frac{(2k- \alpha^2 + \beta ^2-1)}{2} \right)^2 \left( (x^2-y^2)^2+(2xy)^2-(x^2+y^2)^2 \right)+ (2k- \alpha^2 + \beta ^2-1) \left((x^2-y^2)\alpha +2xy-(x^2+y^2) \beta \right) +(\alpha^2+1-\beta^2) $

A questo punto, notando che $ (x^2-y^2)^2+(2xy)^2-(x^2-y^2)^2=0 $ e che abbiamo stabilito che $ \alpha(x^2-y^2)-\beta(x^2+y^2)=1-2xy $, ottieni come risultato $ 2k $. Per il teorema di Bézout, $ \alpha $ e $ \beta $ esistono sempre. Inoltre noterai che devono avere parità diversa, per cui $ \displaystyle \frac{(2k- \alpha^2 + \beta ^2-1)}{2} $ è intero.

La somma di quadrati per il caso $ n=2k-1 $ si sviluppa in modo simile (anzi richiede meno calcoli).

Adesso è più chiaro?

[Claudio.]

Ma non avevo dubbi che semplificando venisse, il problema è da dove la tiri fuori Magari dimostrare che quella cosa va bene a posteriori non è molto complicato, ma tirarla fuori da problema iniziale?

[razorbeard]

Io per il punto 1 avevo pensato un altro metodo:
considerando l'equazione $n=a^2+b^2-c^2$ $mod 4$ con opportune scelte di $a,b,c$ ci verrà fuori che $n$ può essere $\equiv 0,1,2,3$ $mod 4$ da cui si può dedurre che tutti i numeri sono esprimibili.

[kalu]

Io per il punto 1 avevo pensato un altro metodo:
considerando l'equazione $n=a^2+b^2-c^2$ $mod 4$ con opportune scelte di $a,b,c$ ci verrà fuori che $n$ può essere $\equiv 0,1,2,3$ $mod 4$ da cui si può dedurre che tutti i numeri sono esprimibili.

No, stai attento. Così dimostri solo che $ \forall $ $ 0 \leq h \leq 3 $ l'equazione $ 4j+h=a^2+b^2-c^2 $ ammette almeno una quadrupla risolutiva $ (j, a, b, c) $.
Considera l'equazione $ n=a^{15}+b^{15} $. Anche in questo caso $ a^{15}+b^{15} $ può appartenere a qualsiasi classe di congruenza in modulo 4, ma di certo non puoi dedurre che ogni intero possa essere scritto come somma di due potenze quindicesime...

[stickman]

Secondo me per il 2° esercizio può bastare porre $c=a+1$ e $b^2=2a+4$.
E' banale verificare che $2a+4$ è un quadrato perfetto per infiniti valori di $a$.

[Claudio.]

Beh non c'è alcuna differenza tra questa soluzione e la mia, solo che la mia parte in mdo più generale così da poter, magari, riutilizzare l'idea.