Triangoli con perimetro fissato

[razorbeard]

Quanti sono i triangoli i cui lati hanno misura intera e il cui perimetro è 508?

[Claudio.]

I triangoli congruenti fra loro devono essere considerati uguali?

[razorbeard]

Il testo non lo specifica,io credo di si

[Claudio.]

Sono 5376?

[razorbeard]

Si,è esatto ... come hai ragionato?

[Claudio.]

Beh chiaramente la somma dei lati deve essere 508, e poi deve valere la disuguaglianza triangolare, che in questo caso possiamo riassumere in: tutti i lati minori di 254. Ora abbiamo che definiti due lati il terzo è già determinato. Quindi chiamiamo $a,b$ due lati qualsiasi deve valere $a+b>254$ e contemporaneamente $a,b<253$ quindi definito $b$ abbiamo $253-(254-b)$ possibilità per $a$. Puoi notare che facendo variare b da 1 a 253, otteniamo la somma da 1 a 252 cioè $\frac{252\cdot253}2=31878$ triangoli ordinati possibili, ora dobbiamo stabilire quali abbiamo contato più volte. Triangoli equilateri non ce ne sono, dobbiamo contare quelli iscosceli:$a=b\Rightarrow a>127$ cioè $253-127=126$ possibilità che vanno moltiplicati per 3 che sono le possibilità di scelta per i due lati congruenti quindi $31878-3\cdot126=31500$ triangoli scaleni che abbiamo contato $3!=6$ volte. Quindi $\frac{31500}6=5250$ a cui riaggiungiamo gli iscosceli $5250+126=5376$
Probabilmente ci sarà qualche passaggio inutile ma non mi andava di rivederlo ^^

[ma_go]

c'è un altro modo di vedere la cosa:

Testo nascosto:

cosa si può dire di $(a+b-c)/2$, $(b+c-a)/2$ e $(c+a-b)/2$? hint: di solito si chiamano $x$, $y$ e $z$...

[Claudio.]

Spiega