SNS '74-'75, 1

[fraboz]

Determinare i valori di $ a $ per cui l'equazione $ 2^{cosx+sinx}=a $ ammette soluzioni.


p.s. non sono in possesso della soluzione ufficiale

[Claudio.]

è abbastanza scolastico.
Massimizziamo e minimizziamo $\cos x+\sin{x}$ (che è una funzione continua) e troviamo $-\sqrt2\le\cos x+\sin x\le \sqrt2$.
Quindi $2^{-\sqrt2}\le a\le 2^{\sqrt2}$

EDIT: non c'è in realtà bisogno di usare alcun logaritmo

Forse c'è qualche modo di massimizzare senza derivate, comunque se si usano i logairtmi e le parametriche si dovrebbe arrivare anche alla soluzione, non so quanto sia contoso però

[Mist]

Per massimizzare $\cos{x}+\sin{x}$ basta usare una AM-QM
$$\displaystyle \frac{\cos{x}+\sin{x}}{2} \leq \sqrt{\frac{\cos{(x)}^2+\sin{(x)}^2}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad \cos{x}+\sin{x} \leq \sqrt{2}$$

E la soluzione da qui si trova facilmente ricordando che le disuguaglianze tra medie diventano uguaglianze quando gli elementi della media sono uguali tra di loro, in questo caso quindi quando $\sin{x} = \cos{x}$, che è facile... A che soluzione ti riferivi ?

[Claudio.]

che soluzione ti riferivi ?

è riferito a me?
Se si intedevo quella di applicare i logaritmi in base 2, riconducendosi ad una lineare goniometrica, risolverla e poi porre le condizioni di esistenza in a. saranno una marea di conti.
Comunque ero sicuro che si massimizzasse con qualche media, ma non ci avevo provato dato che con la derivata si faceva a mente, effettivamente era immediata

[jordan]

$\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{2}\left(\sin(x+\frac{\pi}{4})\right)$