Successioni del tipo $x_{n+1}=f(x_n)$ che convergono

[dario2994]

Sia $f:\mathbb R\to\mathbb R$ una funzione continua e derivabile.
Sia $x_0\in\mathbb{R}$ un reale, definisco per ricorrenza $x_{n+1}=f(x_n)$.
Sapendo che la successione $x_i$ non è definitivamente costante e converge a $x\in\mathbb{R}$:
Mostrare che $x=f(x)$.
Che valori può assumere $f'(x)$?

p.s. (funge anche se si sostituisce a $\mathbb{R}$ un qualsiasi intervallo chiuso dei reali)
p.p.s. il primo punto è noto, il secondo l'ho mostrato oggi a scuola quindi, dati che non sono proprio una spada in analisi, può essere segato.
p.p.p.s. se ci sono altri risultati carini su queste cose chi li conosce li piazzi

[paga92aren]

Rilanci:
1) e se $f$ fosse da $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{Q}$ si può dire la stessa cosa?
2) Data $f$ monotona e limitata allora la successione $x_{n+1}=f(x_{n})$ converge

[dario2994]

Che non si dica che sono contro i rilanci... ma insomma... non è che siano risultatoni

p.s. non voglio essere offensivo!

[<enigma>]

Be', ad esempio è bene tenere a mente che $\mathbb Q$ non è completo (rilancio 1).
PS. C'entra mica il teorema di Banach?

[dario2994]

Mi correggo... non è che non sono dei risultatoni, piuttosto hanno poco a che fare col problema. Sono entrambi fatti più generali di analisi che hanno a che fare solo con le successioni, non con le successioni per ricorrenza del prim'ordine.

[dario2994]

PS. C'entra mica il teorema di Banach?

Non direi Soprattutto perchè non lo conosco

[fph]

Be', ad esempio è bene tenere a mente che $\mathbb Q$ non è completo (rilancio 1).
PS. C'entra mica il teorema di Banach?

Se vuoi, sì: se in un intervallo la derivata è sempre $\leq 1-\varepsilon$, allora per ogni $x,y$ hai $|f(x)-f(y)| \leq (1-\varepsilon) |x-y|$ (perché?), che è la proprietà che ti serve davvero per dimostrare la convergenza (contrattività, Lipschitzianità). Però non è tutto così semplice, volendo fare le cose nell'ordine che ha detto dario2994 --- come lo trovi esplicitamente un intervallo tale che $f(I)\subseteq I$ e la derivata è minore di 1 su tutto l'intervallo? Il modo più semplice è partire supponendo di avere un punto fisso della funzione con derivata minore di 1...

A proposito, chiamalo "teorema del punto fisso di Banach" --- Banach ha fatto troppi teoremi, citare il suo nome non basta.