Gara Provinciale 2011 Quesito n°4 e estensione

[fermattamref]

Il quesito originale è il seguente: Quanti sono i numeri primi che possono essere espressi nella forma n^(n+1) +1, con n intero positivo?
Risposta: solo uno (in entrambi i sensi )

La mia domanda è: nel caso di n pari perchè (n+1) divide (n^(n+1) +1)? ovvero perchè (2t+1) divide ((2t)^(2t+1)+1) per ogni t naturale?

Estensione:è vero anche che (2t+1)^2 divide ((2t)^(2t+1)+1) per ogni t naturale ??

[Drago96]

Passi solo perchè sei nuovo...
Comunque usa il $\LaTeX$ ! (click!)

Te li ho riscritti io per bene...
Q. originale: Quanti sono i numeri primi che possono essere espressi nella forma $n^{n+1}+1$, con n intero positivo?
Domanda 1: nel caso di n pari perchè $n+1\mid n^{n+1} +1$?
Estensione: $(2t+1)^2\mid (2t)^{2t+1}+1 \ \forall t\in\mathbb N$ ?

Risposta alla domanda 1: $n^{n+1}+1\equiv (-1)^{n+1}+1\pmod{n+1}$ ; e siccome $n$ è pari, quel -1 viene elevato ad un numero dispari, dunque rimane -1 e ovviamente $-1+1=0$

All'estensione ci penso un po'... xD

[Karl Zsigmondy]

Estensione. Sia p primo tale che p divide 2t+1 con esponente k. Abbiamo che:
$ V_p((2t+1)^2)=2k $
$ V_p((2t)^{2t+1}+1) = V_p(2t+1) + V_p(2t+1) = 2k $
Nella seconda ho applicato lifting the exponent (posso perché p è evidentemente dispari, perché p divide 2t+1 per ipotesi e perché l'esponente 2t+1 è dispari)
Quindi è vero che vale quella divisibilità.

[fermattamref]

Estensione. Sia p primo tale che p divide 2t+1 con esponente k. Abbiamo che:
$ V_p((2t+1)^2)=2k $
$ V_p((2t)^{2t+1}+1) = V_p(2t+1) + V_p(2t+1) = 2k $
Nella seconda ho applicato lifting the exponent (posso perché p è evidentemente dispari, perché p divide 2t+1 per ipotesi e perché l'esponente 2t+1 è dispari)
Quindi è vero che vale quella divisibilità.

Scusa la mia ignoranza ma potresti chiarire meglio la spiegazione.Cosa significa $ V_p(....) $?
Grazie

[NoAnni]

Estensione. Sia p primo tale che p divide 2t+1 con esponente k. Abbiamo che:
$ V_p((2t+1)^2)=2k $
$ V_p((2t)^{2t+1}+1) = V_p(2t+1) + V_p(2t+1) = 2k $
Nella seconda ho applicato lifting the exponent (posso perché p è evidentemente dispari, perché p divide 2t+1 per ipotesi e perché l'esponente 2t+1 è dispari)
Quindi è vero che vale quella divisibilità.

Scusa la mia ignoranza ma potresti chiarire meglio la spiegazione.Cosa significa $ V_p(....) $?
Grazie

Valutazione p-adica. $V_p(n)=$ l'esponente con cui compare p nella fattorizzazione di n.
Esempi $V_2(26)=1$
$V_3(26)=0$
$V_2(68)=2$

[Drago96]

E io aggiungerei anche una dispensa su LTE

(io me l'ero quasi dimenticato...)