0.99999...=1 ??
0.99999...=1 ??
Si può dimostrare matematicamente che 0.9999..(periodico) è uguale a 1. Ma è davvero così? Cioè io logicamente non riesco ad accettare questo concetto... personalmente ho visto sempre la matematica come la scienza perfetta per eccellenza e questa uguaglianza (che ho scoperto oggi per caso) è tutt'altro che perfetta... o no?
La mente è come un paracadute...funziona solo se si apre!!!
ALBERT EINSTEIN
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Re: 0.99999...=1 ??
se hai un numero come 0,9999999(N) con un numero N di 9, allora hai che è minore di 1.
se scrivi 0,9 periodico intendi il limite della successione (0,99999....), che è appunto uguale a 1
un altro modo per convincerti è andare a calcolare la funzione generatrice del numero 0,9... http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_decimale_periodico
il risultato è 1
o ancora (sempre da wiki):
$ x = 0,\overline{9} $
$ 10x = 9,\overline{9} $
$ 10x - x = 9,\overline{9} - 0,\overline{9} $
$ 9x = 9 $
$ x = 1 $
se scrivi 0,9 periodico intendi il limite della successione (0,99999....), che è appunto uguale a 1
un altro modo per convincerti è andare a calcolare la funzione generatrice del numero 0,9... http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_decimale_periodico
il risultato è 1
o ancora (sempre da wiki):
$ x = 0,\overline{9} $
$ 10x = 9,\overline{9} $
$ 10x - x = 9,\overline{9} - 0,\overline{9} $
$ 9x = 9 $
$ x = 1 $
Ultima modifica di ant.py il 13 ott 2011, 20:54, modificato 2 volte in totale.
Anti-intellectualism has been a constant thread winding its way through our political and cultural life. Nurtured by the false notion that democracy means that "My ignorance is just as good as your knowledge. "
Re: 0.99999...=1 ??
In MNE?
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
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Re: 0.99999...=1 ??
ant.py ha scritto:se hai un numero come 0,9999999(N) con un numero N di 9, allora hai che è minore di 1.
se scrivi 0,9 periodico intendi il limite della successione (0,99999....), che è appunto uguale a 1
un altro modo per convincerti è andare a calcolare la funzione generatrice del numero 0,9... http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_decimale_periodico
il risultato è 1
o ancora (sempre da wiki):
$ x = 0,\overline{9} $
$ 10x = 9,\overline{9} $
$ 10x - x = 9,\overline{9} - 0,\overline{9} $
$ 9x = 9 $
$ x = 1 $
Capisco che matematicamente può essere dimostrabile però, non so voi, ma io a livello logico non riesco a comprendere come un numero infinitamente vicino a 1 possa essere uguale a 1
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Re: 0.99999...=1 ??
Beh, se qualcuno si mettesse a formalizzare il concetto di rappresentazione decimale, l'argomento (anche se semplice) non sarebbe elementare, e sarebbe subito chiaro perché $0,\overline{9}=1$. Anche perché, per una questione del genere le risposte sono possibili sono solo due: la prima è "Una serie è una successione di somme finite di eccetera eccetera" e la seconda è "Guardalo intensamente e convincitene."<enigma> ha scritto:In MNE?
Re: 0.99999...=1 ??
Senza entrare nei dettagli, la rappresentazione in base 10 (ma in realtà qualunque base b), se si ammettono tutte le scritture, non dà l'unicità: alcuni numeri potranno essere rappresentati in più modi. Per avere l'unicità di solito si vietano appunto le scritture in cui tutte le cifre da un certo punto in poi sono 9 (o b-1). Quindi 0,9 periodico e 1 sono due scritture diverse dello stesso numero reale.
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Re: 0.99999...=1 ??
Credo che la tua confusione nasca dal fatto che nessuno ti ha mai definito che cos'è un numero reale. Ad un certo punto ti è stato insegnato ad usare una rappresentazione decimale con infinite cifre dopo la virgola come se niente fosse, ma se ci pensi un attimo non è affatto chiaro di cosa stiamo parlando.
Quando scrivo un numero con alcune (finite) cifre dopo la virgola, posso sempre ricondurlo a qualcosa che già conosco, le frazioni. Ad esempio
$ 3,425 = 3 + \frac{4}{10} + \frac{2}{100} + \frac{5}{1000}. $
Ma cosa vuol dire una scrittura come 1,23456789101112131415161718192021...? Se lo traduco come prima mi troverei a fare una somma infinita. Questa è una cosa che sotto certe condizioni si può fare, ma bisogna definirla per bene. Quindi non è possibile parlare di dare un senso allo sviluppo decimale infinito prima di parlare di limiti e somme infinite.
Ma per parlare di queste cose serve di conoscere già i numeri reali, e dunque questi non possono essere introdotti come "numeri con infinite cifre dopo la virgola" senza mordersi la coda. (Ok, volendo si può ma è più complicato.)
Quindi i numeri reali vanno introdotti prima, in un modo diverso. Una volta che li si è introdotti si può parlare di rappresentazione decimale. Questa però è solo una rappresentazione: non c'è niente di strano che un numero possa avere due rappresentazioni diverse, e l'apparente paradosso svanisce.
La situazione è più o meno la stessa di rappresentare il numero 3/5 come 6/10 o 9/15. Le scritture sono diverse ma il numero rappresentato è lo stesso.
Quando scrivo un numero con alcune (finite) cifre dopo la virgola, posso sempre ricondurlo a qualcosa che già conosco, le frazioni. Ad esempio
$ 3,425 = 3 + \frac{4}{10} + \frac{2}{100} + \frac{5}{1000}. $
Ma cosa vuol dire una scrittura come 1,23456789101112131415161718192021...? Se lo traduco come prima mi troverei a fare una somma infinita. Questa è una cosa che sotto certe condizioni si può fare, ma bisogna definirla per bene. Quindi non è possibile parlare di dare un senso allo sviluppo decimale infinito prima di parlare di limiti e somme infinite.
Ma per parlare di queste cose serve di conoscere già i numeri reali, e dunque questi non possono essere introdotti come "numeri con infinite cifre dopo la virgola" senza mordersi la coda. (Ok, volendo si può ma è più complicato.)
Quindi i numeri reali vanno introdotti prima, in un modo diverso. Una volta che li si è introdotti si può parlare di rappresentazione decimale. Questa però è solo una rappresentazione: non c'è niente di strano che un numero possa avere due rappresentazioni diverse, e l'apparente paradosso svanisce.
La situazione è più o meno la stessa di rappresentare il numero 3/5 come 6/10 o 9/15. Le scritture sono diverse ma il numero rappresentato è lo stesso.
The best argument against democracy is a five-minute conversation with the average voter. - Winston Churchill
Re: 0.99999...=1 ??
Non capisco l'intervento di Nonno Bassotto sui reali...
Perchè $0,\bar 9\in\mathbb Q$ no? (Anzi, è addirittura intero)
E ora mi è venuta in mente una cosa...
Alle medie mi avevano insegnato che un numero periodico può essere rappresentato come frazione scrivendo a numeratore (parte intera e parte periodica senza la virgola) - (parte intera) e a denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo.
Qualcuno potrebbe darmi una dimostrazione di questo fatto (se non è troppo avanzata) ?
Dato che questo risolverebbe il "paradosso" dato che applicando la regola si otterrebbe $\displaystyle{0,\bar 9=\frac{09-0} 9 = 1}$
Perchè $0,\bar 9\in\mathbb Q$ no? (Anzi, è addirittura intero)
E ora mi è venuta in mente una cosa...
Alle medie mi avevano insegnato che un numero periodico può essere rappresentato come frazione scrivendo a numeratore (parte intera e parte periodica senza la virgola) - (parte intera) e a denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo.
Qualcuno potrebbe darmi una dimostrazione di questo fatto (se non è troppo avanzata) ?
Dato che questo risolverebbe il "paradosso" dato che applicando la regola si otterrebbe $\displaystyle{0,\bar 9=\frac{09-0} 9 = 1}$
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: 0.99999...=1 ??
Una volta identificato per definizione un elemento generico di $ \mathbb R \setminus \mathbb Q $ con una coppia di classi contigue che non ammette un numero (razionale) separatore, si potrebbe anche mettere in termini di sezioni di Dedekind: $1$ è l'elemento separatore della coppia di classi contigue $ \left (\{ x \in \mathbb R : x <1 \} , \{ x \in \mathbb R : x >1 \} \right ) $ in cui si può partizionare $ \mathbb R \setminus \{ 1 \} $... soltanto che si verifica facilmente che anche $ 0,\bar 9 $ lo è! A questo punto, se l'elemento separatore esiste è unico, ergo la conclusione. Questi fatti sono di facile dimostrazione... ma è tanto che li ho studiati, nel caso correggetemi.
@Drago96: scrivi in termini di serie e vedrai che viene senza difficoltà.
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Re: 0.99999...=1 ??
Inizio con una cifra periodica...
$\displaystyle{a,\bar b =a+0,\bar b = a+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{b}{10^i}=a-b+b\cdot\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{10^i}}$
Ora ragioniamo su quella sommatoria... $\displaystyle{\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{10^i}= \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{10^i}=\lim_{n\to\infty}\frac{1-\left(\frac 1{10}\right)^n}{1-\frac 1{10}}=\frac{10}{9}}$
E tornando sopra abbiamo $\displaystyle{a,\bar b=a-b+\frac{10b} 9 = \frac{9a+b}9=\frac{10a+b-a}9}$
Che è proprio quello che volevamo!
$\displaystyle{a,\bar b =a+0,\bar b = a+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{b}{10^i}=a-b+b\cdot\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{10^i}}$
Ora ragioniamo su quella sommatoria... $\displaystyle{\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{10^i}= \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{10^i}=\lim_{n\to\infty}\frac{1-\left(\frac 1{10}\right)^n}{1-\frac 1{10}}=\frac{10}{9}}$
E tornando sopra abbiamo $\displaystyle{a,\bar b=a-b+\frac{10b} 9 = \frac{9a+b}9=\frac{10a+b-a}9}$
Che è proprio quello che volevamo!
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Re: 0.99999...=1 ??
Premesso che in realtà da dimostrare non c'è nulla ed il problema è più di definizione dei numeri reali, io ho trovato che la seguente argomentazione in genere convince gli increduli più che il calcolo di una serie o discussioni sui tagli di Dedekind:
Sei d'accordo che tra due numeri reali distinti c'è sempre un altro numero reale in mezzo? (e qui ci credono tutti)
Sai darmi un numero reale tra $0,\bar{9}$ e 1? Che cifre ha? (e qui boccheggiano, o non capiscono la domanda e mi allontano depresso).
Sei d'accordo che tra due numeri reali distinti c'è sempre un altro numero reale in mezzo? (e qui ci credono tutti)
Sai darmi un numero reale tra $0,\bar{9}$ e 1? Che cifre ha? (e qui boccheggiano, o non capiscono la domanda e mi allontano depresso).
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.
Re: 0.99999...=1 ??
Grazie per l'impegno a te e agli altriDrago96 ha scritto:Inizio con una cifra periodica...
$\displaystyle{a,\bar b =a+0,\bar b = a+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{b}{10^i}=a-b+b\cdot\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{10^i}}$
Ora ragioniamo su quella sommatoria... $\displaystyle{\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{10^i}= \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{10^i}=\lim_{n\to\infty}\frac{1-\left(\frac 1{10}\right)^n}{1-\frac 1{10}}=\frac{10}{9}}$
E tornando sopra abbiamo $\displaystyle{a,\bar b=a-b+\frac{10b} 9 = \frac{9a+b}9=\frac{10a+b-a}9}$
Che è proprio quello che volevamo!
Cmq nella domanda avevo premesso che riesco a comprendere che matematicamente 0,9 periodico e 1 sono la stessa cosa. Conosco la definizione di numero reale e i concetti di classi contigue con annesso elemento separatore...
La mia domanda era un'altra: lasciate perdere la matematica (non mi fucilate ), secondo me in questo caso esiste un contrasto tra matematica e logica, contrasto che non sono stato abituato a trovare nel corso dei miei studi (sono al liceo); per logica io penso che un numero infinito di 9 dopo lo 0 non arriverà mai a formare un'unità. LOGICAMENTE non matematicamente ve la sentite di affermare che 0,9 periodico e 1 sono la stessa cosa???
Siccome mi sembra di essere stato troppo ripetitivo e rischio di fare infuriare molti matematici del forum, non siete obbligati a rispondere a questa domanda, che avevo posto solo ed esclusivamente per avere un'opinione su questa apparente sfasatura tra piano della logica e piano della matematica che per me erano stati sempre coincidenti.
PS: forse l'interpretazione sbagliata della domanda nasce dal fatto che la sezione in cui è stata postata (MNE) non è proprio adatta all'argomento, so che qui si richiedono dimostrazioni e non discussioni di questo tipo. Perdonatemi
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ALBERT EINSTEIN
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Re: 0.99999...=1 ??
u.u in effetti forse andrebbe in cultura matematica...
Comunque a me la matematica piace appunto perchè dice cose che la logica non fa sembrare evidenti e che anzi, alle volte sembrano assurde (se non si guarda la dimostrazione)... Insomma, secondo me la "sfasatura" di cui parli è il bello del gioco XD ok, verrò fucilato pure io a questo punto mi sa O.o
Comunque a me la matematica piace appunto perchè dice cose che la logica non fa sembrare evidenti e che anzi, alle volte sembrano assurde (se non si guarda la dimostrazione)... Insomma, secondo me la "sfasatura" di cui parli è il bello del gioco XD ok, verrò fucilato pure io a questo punto mi sa O.o
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
Re: 0.99999...=1 ??
Beh, la matematica non va contro la logica...
è solo che quando ci si trova davanti l'infinito è un po' dura dire cosa è logico e cosa no...
Vedi ad esempio questo caso delle infinite cifre decimali, o per esempio, l'esistenza di diversi infiniti ($\aleph_0 = |\mathbb N | = |\mathbb Z| = |\mathbb Q | <|\mathbb R |=\mathfrak c =2^{\aleph_0}$ )
Certamente è più immediato dire "beh, dai... $1-0,\bar 9$ farà qualcosa come $0,0000\dots 001 $ "... peccato che quel numero sarebbe $10^{-\infty}=0$
O dire che i numeri pari sono di meno dei numeri naturali... e può sembrare "illogico" quanto vuoi, ma finchè $f(x)=2x$ sarà biiettiva bisogna rassegnarsi a $|\mathbb N | = |\mathbb P|$
P.S: di quanto detto sopra sono piuttosto sicuro, ma se per caso l'infinito mi ha dato alla testa di nuovo, vi prego di dirmelo...
EDIT: risolto... \overline{456} dà $\overline{456}$
è solo che quando ci si trova davanti l'infinito è un po' dura dire cosa è logico e cosa no...
Vedi ad esempio questo caso delle infinite cifre decimali, o per esempio, l'esistenza di diversi infiniti ($\aleph_0 = |\mathbb N | = |\mathbb Z| = |\mathbb Q | <|\mathbb R |=\mathfrak c =2^{\aleph_0}$ )
Certamente è più immediato dire "beh, dai... $1-0,\bar 9$ farà qualcosa come $0,0000\dots 001 $ "... peccato che quel numero sarebbe $10^{-\infty}=0$
O dire che i numeri pari sono di meno dei numeri naturali... e può sembrare "illogico" quanto vuoi, ma finchè $f(x)=2x$ sarà biiettiva bisogna rassegnarsi a $|\mathbb N | = |\mathbb P|$
P.S: di quanto detto sopra sono piuttosto sicuro, ma se per caso l'infinito mi ha dato alla testa di nuovo, vi prego di dirmelo...
EDIT: risolto... \overline{456} dà $\overline{456}$
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: 0.99999...=1 ??
Se vuoi, puoi spostare il problema altrove: definisci un insieme $\mathcal{R}$ come l'insieme di tutti gli sviluppi decimali finiti e infiniti (considerati come distinti); poi cerchi di definire le comuni operazioni su di esso, e di dimostrare le proprietà solite (assiomi di campo in pratica) e vedi dove le cose cominciano a non funzionare. Probabilmente qualche variante delle comuni "dimostrazioni" che 0.999...=1 risulterà in un assurdo.
Questo se vuoi mima il percorso logico che viene fatto nelle scuole, solo che lì la definizione delle operazioni è fatta un po' alla buona e nessuno si cura di dimostrare che gli assiomi di campo funzionano (e credo bene, perché non ci riuscirebbero, visto che c'è solo un campo ordinato completo...)
Questo se vuoi mima il percorso logico che viene fatto nelle scuole, solo che lì la definizione delle operazioni è fatta un po' alla buona e nessuno si cura di dimostrare che gli assiomi di campo funzionano (e credo bene, perché non ci riuscirebbero, visto che c'è solo un campo ordinato completo...)
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]