polinomi e frazioni

[fraboz]

Premetto che non conosco la soluzione ufficiale e che della mia non sono sicuro in quanto ho utilizzato una tecnica nuova per me...

Sia $ P(x) $ il polinomio di grado $ n $ tale che $ P(k)=\frac{1}{k} $ per $ k=1,2,...,n+1 $. Determinare $ P(n+2) $.

[xXStephXx]

Vabbè la tecnica sarà stata quella di riscrivere $ P(k)= (k-1)(k-2)...(k-n-1)+1/k $.
Quindi $ P(n+2)=(n+1)!+\frac{1}{n+2} $ torna?

Asp ma il grado è $ n $ o $ n+1 $? Perchè così mi pare di grado n+1.

[Mist]

xXStephXx, sbagli perchè quello che scrivi all'inizio non è un polinomio: ha un incognita elevata alla $-1$ e come vedi qui questo non va bene ...

Con la pomposa "interpolazione di lagrange" esce benissimo, e questo mi fa pensare che era questa la tecnica a cui alludi... no ?

$$P(x)=\sum_{j=1}^{n+1}\frac{1}{j}\cdot \frac{\prod_{r=1 \atop r\neq j}^{n+1}(x-j)}{\prod_{r=1 \atop r\neq j}^{n+1}(j-r)} \Rightarrow P(n+2)= \sum_{j=1}^{n+1}\frac{(n+1)!}{j(n+2-j)(j-1)!(-1)^{n+1-j}(n+1-j)!} =$$
$$= \frac{(-1)^{n+1}}{n+2}\sum_{j=1}^{n+1}\binom{n+2}{j}(-1)^j = \frac{(-1)^{n+1}}{n+2}(-1-(-1)^{n+2})=\frac{(-1)^n+1}{n+2}$$

era questa la tecnica che stavi provando ? So che ho saltato qualche passaggio che potevo spiegare meglio, ma sforzarsi di capire serve sempre...

EDIT: Chiedo scusa per averlo relativamente bruciato, ma il risultato è davvero caruccio

[dario2994]

Ho trovato una soluzione ganza quindi ecco qui (nulla di rivoluzionario eh... ):
Per $1\le k\le n+1$ vale $P(k)=\frac1k\to kP(k)-1=0$ quindi come polinomi deve valere $xP(x)-1=\alpha(x-1)(x-2)\cdots (x-n)(x-n-1)$ e $\alpha$ è una costante dato che $\deg(P)=n$.
Butto dentro $x=0$ e ottengo $-1=\alpha\cdot (-1)^{n+1}(n+1)!\to \alpha=\frac{(-1)^n}{(n+1)!}$.
Ora butto dentro $x=n+2$ ottenendo: $(n+2)P(n+2)-1=\frac{(-1)^n}{(n+1)!}\cdot (n+1)!\to P(n+2)=\frac{1+(-1)^n}{n+2}$ che è la richiesta del problema

edit: la parte caruccia di questo risultato mi è oscura

[fraboz]

Con la pomposa "interpolazione di lagrange" esce benissimo, e questo mi fa pensare che era questa la tecnica a cui alludi... no ?

si, certo. praticamente si trasforma il problema in soli calcoli e basta ricordarsi di un'identità o ricavarsela per completarlo . grazie per le soluzioni