Disuguaglianza famosa
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Disuguaglianza famosa
Dimostrare che $ (1+\frac{1}{n})^n<(1+\frac{1}{n+1})^{n+1} $ con $ n\in\mathbb{Z}^{+} $
Vediamo quante soluzioni troviamo!
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Re: Disuguaglianza famosa
Ma guarda un po' che tempismo, proprio in questi giorni mi stavo cimentando nel dimostrare che quell'espressione tende a $e$!
Prima di tutto sviluppiamo le potenze dei binomi:
$ \left( \dfrac{n+1}{n} \right)^n=\dfrac{1}{n^n}\sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i}n^{n-i}=\sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i}n^{-i} $ e, analogamente, $ \left( \dfrac{n+2}{n+1} \right)^{n+1}=\sum\limits_{i=0}^{n+1} \binom{n+1}{i}(n+1)^{-i} $
Ora, se confrontiamo a due a due i termini con lo stesso indice $i$, abbiamo $\binom{n}{i}n^{-i} \le \binom{n+1}{i}(n+1)^{-i}$ $\forall 0 \le i \le n$: se dimostriamo queste disuguaglianze e le sommiamo membro a membro, insieme a $0<\dfrac{1}{(n+1)^{n+1}}$ che completa il $RHS$, otteniamo la tesi.
Possiamo dimostrarle per induzione: si nota facilmente che per $i<2$ si ha l'uguaglianza, mentre per il passo induttivo sviluppiamo i binomiali e semplifichiamo, ottenendo:
$n^{-i} \le \dfrac{n+1}{n+1-i}(n+1)^{-i} \Leftrightarrow 1-\dfrac{i}{n+1} \le \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^i$
Passando da $i$ a $i+1$ la disuguaglianza diventa $1-\dfrac{i}{n+1}-\dfrac{1}{n+1} \le \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^{i+1}=\left( \dfrac{n}{n+1} \right)^i-\dfrac{1}{n+1} \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^i$
che si ottiene sommando membro a membro $1-\dfrac{i}{n+1} \le \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^i$ e $-\dfrac{1}{n+1} \le -\dfrac{1}{n+1} \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^i$
La prima è vera per ipotesi induttiva, la seconda è una conseguenza diretta del fatto che un numero compreso tra $0$ e $1$, in questo caso $\dfrac{n}{n+1}$, rimane tale se elevato a un esponente positivo ($i$)
Prima di tutto sviluppiamo le potenze dei binomi:
$ \left( \dfrac{n+1}{n} \right)^n=\dfrac{1}{n^n}\sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i}n^{n-i}=\sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i}n^{-i} $ e, analogamente, $ \left( \dfrac{n+2}{n+1} \right)^{n+1}=\sum\limits_{i=0}^{n+1} \binom{n+1}{i}(n+1)^{-i} $
Ora, se confrontiamo a due a due i termini con lo stesso indice $i$, abbiamo $\binom{n}{i}n^{-i} \le \binom{n+1}{i}(n+1)^{-i}$ $\forall 0 \le i \le n$: se dimostriamo queste disuguaglianze e le sommiamo membro a membro, insieme a $0<\dfrac{1}{(n+1)^{n+1}}$ che completa il $RHS$, otteniamo la tesi.
Possiamo dimostrarle per induzione: si nota facilmente che per $i<2$ si ha l'uguaglianza, mentre per il passo induttivo sviluppiamo i binomiali e semplifichiamo, ottenendo:
$n^{-i} \le \dfrac{n+1}{n+1-i}(n+1)^{-i} \Leftrightarrow 1-\dfrac{i}{n+1} \le \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^i$
Passando da $i$ a $i+1$ la disuguaglianza diventa $1-\dfrac{i}{n+1}-\dfrac{1}{n+1} \le \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^{i+1}=\left( \dfrac{n}{n+1} \right)^i-\dfrac{1}{n+1} \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^i$
che si ottiene sommando membro a membro $1-\dfrac{i}{n+1} \le \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^i$ e $-\dfrac{1}{n+1} \le -\dfrac{1}{n+1} \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^i$
La prima è vera per ipotesi induttiva, la seconda è una conseguenza diretta del fatto che un numero compreso tra $0$ e $1$, in questo caso $\dfrac{n}{n+1}$, rimane tale se elevato a un esponente positivo ($i$)
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
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Re: Disuguaglianza famosa
Bene (l'ultima disuguaglianza è vera per Bernoulli). La mia sol è invece: prendo $ a_i=1+\frac{1}{n} $ per $ 1\leq i \leq n $ e $ a_{n+1}=1 $ e faccio AM-GM.
Re: Disuguaglianza famosa
Hai ragione: il problema è che non riesco mai a memorizzarla...gatto_silvestro ha scritto:l'ultima disuguaglianza è vera per Bernoulli
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
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Re: Disuguaglianza famosa
scusami, non ho capito bene.. potresti spiegare più in dettaglio?gatto_silvestro ha scritto:Bene (l'ultima disuguaglianza è vera per Bernoulli). La mia sol è invece: prendo $ a_i=1+\frac{1}{n} $ per $ 1\leq i \leq n $ e $ a_{n+1}=1 $ e faccio AM-GM.
Anti-intellectualism has been a constant thread winding its way through our political and cultural life. Nurtured by the false notion that democracy means that "My ignorance is just as good as your knowledge. "
Re: Disuguaglianza famosa
$ a_1 = a_2 = ... = a_n= 1+ \frac{1}{n} $ant.py ha scritto:scusami, non ho capito bene.. potresti spiegare più in dettaglio?gatto_silvestro ha scritto:Bene (l'ultima disuguaglianza è vera per Bernoulli). La mia sol è invece: prendo $ a_i=1+\frac{1}{n} $ per $ 1\leq i \leq n $ e $ a_{n+1}=1 $ e faccio AM-GM.
$ a_{n+1} = 1 $
a questo punto basta che scrivi AM-Gm con questi termini ( sono n+1) e il risultato viene da se con un paio di conti immediati...
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Disuguaglianza famosa
ah, ho capito, che scemo
grazie mille
grazie mille
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Re: Disuguaglianza famosa
Qualcuno potrebbe anche dimostrare che $\left( 1+ \dfrac{1}{n} \right)^{n+1}>\left(1+\dfrac{1}{n+1} \right)^{n+2}$ (io non ne sono stato capace )
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
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Re: Disuguaglianza famosa
2 modi:
1) AM-GM
$\displaystyle (1+\frac 1 {n+1})^n(1+\frac 1 {n+1})^2<(\frac{n(1+\frac 1 {n+1})+(1+\frac 1 {n+1})^2}{n+1})^{n+1}=$
$\displaystyle =(1+\frac 1 {n+1}+\frac 1 {(n+1)^2}+\frac 1 {(n+1)^3})^{n+1}<(1+\frac 1 n)^{n+1}$
2) derivando
la derivata della funzione $\displaystyle (1+\frac 1 x)^{x+1}$ è $\displaystyle (1+\frac 1 x)^{x+1}\frac{\ln (1+\frac 1 x)^x-1}{x}<0$ perchè $\ln (1+\frac 1 x)^x<\ln e<1$ quindi la funzione è decrescente
1) AM-GM
$\displaystyle (1+\frac 1 {n+1})^n(1+\frac 1 {n+1})^2<(\frac{n(1+\frac 1 {n+1})+(1+\frac 1 {n+1})^2}{n+1})^{n+1}=$
$\displaystyle =(1+\frac 1 {n+1}+\frac 1 {(n+1)^2}+\frac 1 {(n+1)^3})^{n+1}<(1+\frac 1 n)^{n+1}$
2) derivando
la derivata della funzione $\displaystyle (1+\frac 1 x)^{x+1}$ è $\displaystyle (1+\frac 1 x)^{x+1}\frac{\ln (1+\frac 1 x)^x-1}{x}<0$ perchè $\ln (1+\frac 1 x)^x<\ln e<1$ quindi la funzione è decrescente