107. Una somma insolita
- Karl Zsigmondy
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107. Una somma insolita
Detta $ \sigma(k) $ la somma dei divisori interi positivi di k (compresi 1 e k) dimostrare che:
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\frac{\sigma(i)}{i}} \leq 2n $
Per ogni n intero positivo.
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\frac{\sigma(i)}{i}} \leq 2n $
Per ogni n intero positivo.
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi."
"Life is very short and there's no time for fussing and fighting, my friend!"
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Re: 107. Una somma insolita
Bonus dei fichi:
Determinate la minor costante che si possa sostituire al $2$ nel RHS
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...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
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Re: 107. Una somma insolita
Ci provo ma non sono certo della dimostrazione.
Provo a farla per induzione su $ n $.
$ (1) $ $ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\frac{\sigma(i)}{i}} \leq 2n $
Passo base
Dimostriamo che la tesi è vera per uno infatti: $ 1\leq 2 $
Ipotesi induttiva
La supponiamo vera per $ n $ e proviamo a dimostrarla per $ n+1 $.
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n+1}{\frac{\sigma(i)}{i}} \leq 2n+2 $ la riscriviamo come:
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\frac{\sigma(i)}{i}}+ \frac{\sigma(n+1)}{n+1} \leq 2n+2 $
Adesso poichè abbiamo posto vera la (1), sottraiamo membro a membro ottenendo:
$ \frac{\sigma(n+1)}{n+1} \leq 2 $
Ponendo $ n+1=k $ possiamo dire che $ \frac{\sigma(k)}{k} $ raggiunge il massimo valore se e solo se $ k $ è un numero perfetto. Se $ k $ è perfetto vale l'equazione $ \sigma(k)=2k $, in questo caso nella nostra tesi abbiamo il caso di uguaglianza. Dando per noto il fatto che la frazione è massima se il numero in questione è perfetto possiamo dire che per ogni $ m $ perfetto ed $ s $non perfetto vale: $ \frac{\sigma(m)}{m}>\frac{\sigma(s)}{s} $. Dunque la tesi è vera.
Provo a farla per induzione su $ n $.
$ (1) $ $ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\frac{\sigma(i)}{i}} \leq 2n $
Passo base
Dimostriamo che la tesi è vera per uno infatti: $ 1\leq 2 $
Ipotesi induttiva
La supponiamo vera per $ n $ e proviamo a dimostrarla per $ n+1 $.
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n+1}{\frac{\sigma(i)}{i}} \leq 2n+2 $ la riscriviamo come:
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\frac{\sigma(i)}{i}}+ \frac{\sigma(n+1)}{n+1} \leq 2n+2 $
Adesso poichè abbiamo posto vera la (1), sottraiamo membro a membro ottenendo:
$ \frac{\sigma(n+1)}{n+1} \leq 2 $
Ponendo $ n+1=k $ possiamo dire che $ \frac{\sigma(k)}{k} $ raggiunge il massimo valore se e solo se $ k $ è un numero perfetto. Se $ k $ è perfetto vale l'equazione $ \sigma(k)=2k $, in questo caso nella nostra tesi abbiamo il caso di uguaglianza. Dando per noto il fatto che la frazione è massima se il numero in questione è perfetto possiamo dire che per ogni $ m $ perfetto ed $ s $non perfetto vale: $ \frac{\sigma(m)}{m}>\frac{\sigma(s)}{s} $. Dunque la tesi è vera.
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »
Re: 107. Una somma insolita
$\frac{\sigma(12)}{12}=\frac{28}{12}>2$
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Re: 107. Una somma insolita
Che sia $ \frac {\pi ^2} 6 $ è addirittura più noto di Lambek-Moserdario2994 ha scritto:Bonus dei fichi:
Determinate la minor costante che si possa sostituire al $2$ nel RHS
Bonus dei fichi reloaded. E se invece di $\sigma (n)$ ci fosse $\sigma_k (n)$?
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
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Re: 107. Una somma insolita
Questo non me lo sarei aspettato, cancello tutto? Tanto sono parole inutili...
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Re: 107. Una somma insolita
Purtroppo per te esistono anche i numeri abbondantiHawk ha scritto:Ponendo $ n+1=k $ possiamo dire che $ \frac{\sigma(k)}{k} $ raggiunge il massimo valore se e solo se $ k $ è un numero perfetto
Anche a me era venuto in mente di dimostrare $\frac{\sigma (k)}{k}\leq 2$ , ma come ha fatto vedere dario2994 ci sono dei controesempi...
P.S: enigma, mi sembra sempre strana la definizione che dai di noto...
E ora mi piacerebbe molto scoprire cosa centra questo problema con $\zeta (2)$ ... Anche se mi sa che è un po' troppo difficile per me...
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: 107. Una somma insolita
Dimenticavo: noto a meDrago96 ha scritto: P.S: enigma, mi sembra sempre strana la definizione che dai di noto...
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Re: 107. Una somma insolita
allora, non è la soluzione, ma (forse) un passo in avanti, di cui vorrei sapere essenzialmente due cose:
1) se è giusto
2) se è possibile continuare il ragionamento o è solo una perdita di tempo
allora:
sia $ K_n = \sum_{i=1}^{n}{\frac{\sigma(i)}{i}}. $ Sappiamo che $ K_1 \leq 2 $, quindi a posto. Scriviamo $ K_n = K_{n-1} + \frac{\sigma(n)}{n} \leq 2n $. Quindi avremo $ \frac{\sigma(n)}{n} \leq 2n - K_{n-1} $
Ora, supponiamo che $ n $ sia un numero abbondante; ora, supponiamo che sia divisibile per tutti i numeri fino a $ \frac{n}{2} $ (cioè il massimo, che non viene mai raggiunto); di conseguenza $ \frac{\sigma(n)}{n} < \frac{\frac{n}{2}(\frac{n}{2}+1)}{2n} $ quindi $ \frac{\sigma(n)}{n} < \frac{n+2}{8} $. Tenendo anche conto che $ K_{n-1} \leq 2(n-1) $, avremo nella precedente equazione
$ \frac{n+2}{8} \leq 2n - 2(n-1) $, ovvero $ n \leq 6 $, quindi abbiamo concluso per $ n $ minore di $ 6 $. (certo non è che serva a molto, eh )
1) se è giusto
2) se è possibile continuare il ragionamento o è solo una perdita di tempo
allora:
sia $ K_n = \sum_{i=1}^{n}{\frac{\sigma(i)}{i}}. $ Sappiamo che $ K_1 \leq 2 $, quindi a posto. Scriviamo $ K_n = K_{n-1} + \frac{\sigma(n)}{n} \leq 2n $. Quindi avremo $ \frac{\sigma(n)}{n} \leq 2n - K_{n-1} $
Ora, supponiamo che $ n $ sia un numero abbondante; ora, supponiamo che sia divisibile per tutti i numeri fino a $ \frac{n}{2} $ (cioè il massimo, che non viene mai raggiunto); di conseguenza $ \frac{\sigma(n)}{n} < \frac{\frac{n}{2}(\frac{n}{2}+1)}{2n} $ quindi $ \frac{\sigma(n)}{n} < \frac{n+2}{8} $. Tenendo anche conto che $ K_{n-1} \leq 2(n-1) $, avremo nella precedente equazione
$ \frac{n+2}{8} \leq 2n - 2(n-1) $, ovvero $ n \leq 6 $, quindi abbiamo concluso per $ n $ minore di $ 6 $. (certo non è che serva a molto, eh )
Ultima modifica di ant.py il 27 set 2011, 17:45, modificato 1 volta in totale.
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Re: 107. Una somma insolita
Tutt'altro, anzi se risolverai il problema vedrai che la tesi è molto più "comoda" con $\zeta(2)$Drago96 ha scritto:E ora mi piacerebbe molto scoprire cosa centra questo problema con $\zeta (2)$ ... Anche se mi sa che è un po' troppo difficile per me...
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Re: 107. Una somma insolita
Ecco un hint piuttosto utile:
Testo nascosto:
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Re: 107. Una somma insolita
Ci avevo pensato anche io... ma non avevo capito quanto potesse essere utile... (ed ecco il perche della zeta! )Karl Zsigmondy ha scritto:Ecco un hint piuttosto utile:Testo nascosto:
Questo mi fa scrivere la somma di partenza come $n+\frac a 2 +\frac b 3+\dots$ dove a è il numero di i divisibili per 2, b è il numero di i divisibili per 3...
Inolte il numero di i divisibili per x è all'incirca $\frac n x$ (devo lavorarci su questo "circa"... )
Dunque riscrivo il LHS come $\displaystyle{\sum_{i=1}^n \frac n {i^2}}$ , che devo dimostrare essere minore di $2n$ ...
cosa non molto difficile, dato che mi basta portare fuori dalla sommatoria $n$, semplificarlo e ci rimane $$\displaystyle{\sum_{i=1}^n \frac 1 {i^2}<\sum_{i=1}^\infty \frac 1 {i^2} = \frac{\pi^2} 6 < 2}$$
L'unica falla di questa pseudo-dimostrazione è quel "all'incirca", che devo cercare di far diventare qualcosa di più preciso...
EDIT: i numeri divisibili per x minori o uguali a n (escluso lo 0) sono $[\frac n x]\leq \frac n x$
Dunque per l'osservazione di prima la somma originale si inserisce in una catena di disuguaglianze così $$\displaystyle{\sum_{i=1}^n \frac{\sigma(i)} i = \sum_{i=1}^n \left[\frac n i\right]\cdot\frac 1 i\leq \sum_{i=1}^n \frac n {i^2}=n\cdot \sum_{i=1}^n \frac 1 {i^2}\leq n\cdot\sum_{i=1}^{\infty} \frac 1 {i^2}=n\cdot\frac{\pi^2} 6 < 2n}$$
Mi pare che quadri tutto...
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Re: 107. Una somma insolita
Diciamo che va bene, puoi andare col prossimo. Quel diciamo è riferito al fatto che hai usato un'identità che non hai dimostrato, ma stavolta diamola per buona.
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Re: 107. Una somma insolita
che identità? Quella dei divisori?Karl Zsigmondy ha scritto:Diciamo che va bene, puoi andare col prossimo. Quel diciamo è riferito al fatto che hai usato un'identità che non hai dimostrato, ma stavolta diamola per buona.
Tempo un paio di giorni per trovare un bel prolema e lo posto...
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Re: 107. Una somma insolita
Piuttosto per giustificarla basterebbe "un semplice double counting dà che..."
@Drago96: nella seconda disuguaglianza puoi sprecare di meno mettendo il minore stretto, dato che $n$ è finito.
@Drago96: nella seconda disuguaglianza puoi sprecare di meno mettendo il minore stretto, dato che $n$ è finito.
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