Probabilità

[Olivo3]

Qual'è la probabilità di vincere esattamente 3 gare su 5 dove per ogni gara ho i 2/3 di probabilità di vincere.

[Hawk]

Puoi usare lo schema delle prove ripetute:

$ \binom {5}{3}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^3\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2 $

[Olivo3]

Mi potresti spiegare più in dettaglio quel procedimento in modo che possa capire perchè si fa così?

Grazie

[Drago96]

Mi potresti spiegare più in dettaglio quel procedimento in modo che possa capire perchè si fa così?

Grazie

È un po' difficile spiegarlo...
Immaginati di scrivere tutti i modi possibili di avere la situazione richiesta, ovvero scrivi "VVVPP", "VPVPV", eccetera...
come puoi vedere, ogni sequenza ha probabilità $\displaystyle{\left (\frac 2 3\right )^3\cdot\left (\frac 1 3\right )^2}$, e in totale hai $\displaystyle{\binom 5 3}$ combinazioni (? non sono mai stato forte con i nomi... ) di lettere...

In genrale, se hai un evento di probabilità $p$ e vuoi che accada esattamente $k$ volte su $n$ prove, devi calcolare $\displaystyle{\binom n k\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}$

[Olivo3]

Non ho capito bene

Ho capito che bisogna guardare tutti i casi con cui si possono vincere tre partite, ma perchè devo moltiplicare per la probabilità che ho di vincere?
Insomma, potreste spiegarmelo in maniera semplice e rigorosa?

[Drago96]

Non saprei come spiegartelo...

Tu hai diversi modi di vincere 3 partite su 5 (VVVPP, VVPVP, VPVPV, PVVPV...) e hanno tutte la stessa probabilità, ok?
Ma tutte concorrono a fare la probabilità totale, e nella stessa misura...
Dunque basta prendere la probabilità di una e moltiplicarla per il numero di combinazioni possibili...

Chiaro? (spero di sì, perchè non so in che altro modo dirtelo... )

[<enigma>]

Io la direi così: una sequenza di partite con le relative vittorie e sconfitte può essere rappresentata con una parola formata da V e P, con ovvio significato. Avere tre V e due P in una parola di cinque lettere è la situazione che vogliamo. Sappiamo che la probabilità che venga una V è $ \frac 2 3 $ e una P è $ \frac 1 3 $. Ho bisogno che vengano tre V, e dunque la probabilità è il prodotto delle probabilità individuali, $ \left ( \frac 2 3 \right )^3 $; nei due spazi rimanenti non possono esserci più V ma P, e anche qui la probabilità che vengano due P è $ \left ( \frac 1 3 \right ) ^2 $. Dunque la probabilità che in una parola di cinque lettere non ordinate ci siano tre V e due P è il prodotto delle due probabilità sopra. Infine, non abbiamo contato gli ordini dei risultati, ovvero ad esempio le parole VVPVP e PVPVV sono la stessa cosa per noi, dunque dobbiamo contare l'ordine, e lo facciamo moltiplicando per il numero di parole ordinate che hanno tre V e due P, ovvero le permutazioni di PPVVV, ovvero il numero di scegliere un sottoinsieme di due oggetti indistinguibili da cinque (essendo anche gli altri tre indistinguibili), vale a dire $ \binom 5 2 = \binom 5 3 $.
(corretto il typo)

[Olivo3]

Ho capito, e se invece dicessi "che almeno in 3 partite vinca"?

[<enigma>]

In quel caso dovresti usare lo stesso procedimento, ma sommando sui vari casi alla fine: Prob(vince almeno 3 partite)=Prob(vince esattamente 3 partite)+Prob(vince esattamente 4 partite)+Prob(vince esattamente 5 partite).

[Olivo3]

Io la direi così: una sequenza di partite con le relative vittorie e sconfitte può essere rappresentata con una parola formata da V e P, con ovvio significato. Avere tre V e due P in una parola di cinque lettere è la situazione che vogliamo. Sappiamo che la probabilità che venga una V è $ \frac 2 3 $ e una P è $ \frac 1 3 $. Ho bisogno che vengano tre V, e dunque la probabilità è il prodotto delle probabilità individuali, $ \left ( \frac 2 3 \right )^3 $; nei due spazi rimanenti non possono esserci più V ma P, e anche qui la probabilità che vengano due P è $ \left ( \frac 2 3 \right ) ^2 $. Dunque la probabilità che in una parola di cinque lettere non ordinate ci siano tre V e due P è il prodotto delle due probabilità sopra. Infine, non abbiamo contato gli ordini dei risultati, ovvero ad esempio le parole VVPVP e PVPVV sono la stessa cosa per noi, dunque dobbiamo contare l'ordine, e lo facciamo moltiplicando per il numero di parole ordinate che hanno tre V e due P, ovvero le permutazioni di PPVVV, ovvero il numero di scegliere un sottoinsieme di due oggetti indistinguibili da cinque (essendo anche gli altri tre indistinguibili), vale a dire $ \binom 5 2 = \binom 5 3 $.

In che senso non ordinate?
E se non moltiplicassi per 1/3 alla seconda, cosa otterrei?

Grazie

[<enigma>]

Io la direi così: una sequenza di partite con le relative vittorie e sconfitte può essere rappresentata con una parola formata da V e P, con ovvio significato. Avere tre V e due P in una parola di cinque lettere è la situazione che vogliamo. Sappiamo che la probabilità che venga una V è $ \frac 2 3 $ e una P è $ \frac 1 3 $. Ho bisogno che vengano tre V, e dunque la probabilità è il prodotto delle probabilità individuali, $ \left ( \frac 2 3 \right )^3 $; nei due spazi rimanenti non possono esserci più V ma P, e anche qui la probabilità che vengano due P è $ \left ( \frac 2 3 \right ) ^2 $. Dunque la probabilità che in una parola di cinque lettere non ordinate ci siano tre V e due P è il prodotto delle due probabilità sopra. Infine, non abbiamo contato gli ordini dei risultati, ovvero ad esempio le parole VVPVP e PVPVV sono la stessa cosa per noi, dunque dobbiamo contare l'ordine, e lo facciamo moltiplicando per il numero di parole ordinate che hanno tre V e due P, ovvero le permutazioni di PPVVV, ovvero il numero di scegliere un sottoinsieme di due oggetti indistinguibili da cinque (essendo anche gli altri tre indistinguibili), vale a dire $ \binom 5 2 = \binom 5 3 $.

In che senso non ordinate?
E se non moltiplicassi per 1/3 alla seconda, cosa otterrei?

Grazie

Non ordinate nel senso che l'ordine in cui si trovano le lettere (ovvero l'ordine dei risultati delle partite) non conta, conta solo quantitativamente quante vittorie e quante sconfitte ci sono state.
Se non moltiplicassi per quel fattore, avresti solo la probabilità che ci siano tre vittorie (su tre partite) perché non aggiungi le altre due partite nel conto.

[Drago96]

In quel caso dovresti usare lo stesso procedimento, ma sommando sui vari casi alla fine: Prob(vince almeno 3 partite)=Prob(vince esattamente 3 partite)+Prob(vince esattamente 4 partite)+Prob(vince esattamente 5 partite).

Oppure (in questo caso c'è un conto in più, ma a volte può essere utile) 1-{P(Vince 0 partite)+P(Vince 1 partita)+P(Vince 2 partite)}

Questo è utile soprattutto quando chiede "vince almeno una partita", dove basta fare 1-P(non vince nessuna partita)

P.S: eni, penso che nel tuo primo post intendessi "la probabilità che vengano due P è (1/3)^2

[Olivo3]

Non ordinate nel senso che l'ordine in cui si trovano le lettere (ovvero l'ordine dei risultati delle partite) non conta, conta solo quantitativamente quante vittorie e quante sconfitte ci sono state.
Se non moltiplicassi per quel fattore, avresti solo la probabilità che ci siano tre vittorie (su tre partite) perché non aggiungi le altre due partite nel conto.

In pratica io facendo tipo 2/3 ^3 * 1/2^2 trovo la probabilità di vincere le prime 3 partite e perdere le ultime 2, ma dato che posso vincere 3 partite anche in altri modi, moltiplico quel risultato per (5, 3).
Ma se non moltiplico per 1/2^2 non ottengo quindi la probabilità di vincere almeno 3 partite, in quanto non prendo in considerazione le altre 2?

[Drago96]

Non ordinate nel senso che l'ordine in cui si trovano le lettere (ovvero l'ordine dei risultati delle partite) non conta, conta solo quantitativamente quante vittorie e quante sconfitte ci sono state.
Se non moltiplicassi per quel fattore, avresti solo la probabilità che ci siano tre vittorie (su tre partite) perché non aggiungi le altre due partite nel conto.

In pratica io facendo tipo 2/3 ^3 * 1/2^2 trovo la probabilità di vincere le prime 3 partite e perdere le ultime 2, ma dato che posso vincere 3 partite anche in altri modi, moltiplico quel risultato per (5, 3).
Ma se non moltiplico per 1/2^2 non ottengo quindi la probabilità di vincere almeno 3 partite, in quanto non prendo in considerazione le altre 2?

A parte che è 1/3, quello che hai detto è giusto...

[Olivo3]

Anche questo?

Ma se non moltiplico per 2/3^2 non ottengo quindi la probabilità di vincere almeno 3 partite, in quanto non prendo in considerazione le altre 2?