Quando è intero?

[matty96]

Determinare $ \displaystyle A=\{ a \in \mathbb{Z^+} \mid \frac{5^a+1}{3^a} \in \mathbb{Z}^+\} $

Vorrei che qualcuno controllasse la mia soluzione e vorrei anche vedere soluzioni diverse:

Testo nascosto:

3 non divide nè 5 nè 1 ma divide 5+1 e $a$ è dispari. Suppungo $\gcd(3,a)=1 \rightarrow \upsilon_3(5^a+1)=\upsilon_3(6)=1$ per LTE, quindi $ a=1$ perchè il 3 del denominatore può comparire una volta sola. Se $\gcd(3,a) \not = 1$ allora si deve avere (sempre per LTE) $1+\upsilon_3(3k) \geq 3k=a$. Se 3k non è una potenza di 3 allora se 3 compare n volte abbiamo che quel n deve essere maggiore o uguale al numero $(a-1)=3^n \cdot q-1$ e se q è il più piccolo cioè q=2 allora $n \geq 3^n\cdot 2-1$ che non è vero. se invece è una potenza di 3 cioè 3^n allora dobbiamo avere $n \geq 3^n-1$ che è valido solo per n =0 quindi non ci possono essere altre soluzioni, perciò $A=\{1\}$

[exodd]

$125^k+1 \equiv 10^k+1\equiv 0 \pmod {27}$

Purtroppo $ 125\equiv -10 \pmod {27} $ e k è dispari..

[matty96]

Dai, voglio vedere altre soluzioni!!!!

[exodd]

E' giusto, ma ho messo un po' a rendermene conto, perchè non mi sono mai imparato il lemma di guadagno di un primo, quindi ogni volta me lo devo ricavare..
Solo una domanda: LTE cosa vuol dire letteralmente?

[jordan]

E' giusto, ma ho messo un po' a rendermene conto, perchè non mi sono mai imparato il lemma di guadagno di un primo, quindi ogni volta me lo devo ricavare..
Solo una domanda: LTE cosa vuol dire letteralmente?

Lifting The Exponent..

[matty96]

Se va bene allora correggo il primo post e cancello quello che ho scritto prima per lasciare ad altri il piacere di risolverlo