Probabilmente è un fatto stranoto, ma lo posto lo stesso perché l'ho trovato carino...
Dimostrare che per ogni $n>0$ vale $\sum\limits_{d|n}\varphi(d)=n$
Numeri... quasi perfetti!
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"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
Maledetti fisici! (cit.)
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exodd
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Re: Numeri... quasi perfetti!
definisci
$ \varphi(n) $
$ \varphi(n) $
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
ispiratore del BTAEvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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Re: Numeri... quasi perfetti!
Credo che intenda dire la funzione φ di Eulero. A questo punto sarebbe carino chiedere anche una formula per la somma di tutti i divisori di un numero.
Re: Numeri... quasi perfetti!
Significa che si devono prendere solo i d che dividono n?$\sum\limits_{d|n}$
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Numeri... quasi perfetti!
Se d è primo, allora per ogni h>1 risulta $ \varphi(d^{h})=d^{h}-d^{h-1} $ se non sbaglio.
Re: Numeri... quasi perfetti!
Perché? Può voler dire qualcos'altro?exodd ha scritto:definisci
$ \varphi(n) $
EsattoDrago96 ha scritto:Significa che si devono prendere solo i d che dividono n?$\sum\limits_{d|n}$
Fin qui ok, ti rimangono i divisori composti!LeZ ha scritto:Se d è primo, allora per ogni h>1 risulta $ \varphi(d^{h})=d^{h}-d^{h-1} $ se non sbaglio.
P.S.: per il simbolo $\ge$ puoi usare \ge o \geq: è un po' più elegante...
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
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exodd
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Re: Numeri... quasi perfetti!
Sì, scusa, è che lo vedo sempre scritto in un altro modo 
Comunque è abbastanza facile, quindi sotto gente
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julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
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Re: Numeri... quasi perfetti!
Per i divisori composti, basta che applico questa regola ad ogni primo che lo compone
Comunque grazie per l'aiuto nel LateX devo ancora specializzarmi
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exodd
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Re: Numeri... quasi perfetti!
Sì, ma.. Lo dovresti dimostrareLeZ ha scritto:Per i divisori composti, basta che applico questa regola ad ogni primo che lo compone
Comunque grazie per l'aiuto nel LateX devo ancora specializzarmi
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julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
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Re: Numeri... quasi perfetti!
Gli unici numeri che non sono primi con $ d^{h} $ sono i multipli di d, possiamo quindi scriverli nella forma $ d\dot k $ con $ 1\le k \le d^{h-1} $, e quindi in totale sono $ d^{h-1} $
Re: Numeri... quasi perfetti!
Bene, ora prova a dimostrare che $\varphi$ è moltiplicativa, ovvero che se $a$ e $b$ sono coprimi allora $\varphi (ab) = \varphi (a)\varphi (b)$...
Hint per una delle possibili dimostrazioni:
Hint per una delle possibili dimostrazioni:
Testo nascosto:
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
Re: Numeri... quasi perfetti!
Beh intanto l'MCD $ (a,b)=1 $. Sia il prodotto $ k =a\dot b $ esistono quindi alcuni numeri $ 0\le h <k $ nella forma $ (h \mod a, h\mod b) $, avendo MCD $ (h,ab)=1 $ se e solo se MCD $ (h\mod a,a)=1 $ e MCD$ (h\mod b,b)= $1; da cui il totale $ \varphi (ab) $ degli $ h\mod ab $ è quindi $ \varphi (a)\varphi (b) $. La funzione di Eulero è moltiplicativa.