Tutte le cifre!

[LeZ]

Dimostrare che esiste ALMENO un numero k di 10 cifre, tutte diverse tra loro, che può essere espresso nella forma $ x^{2}+y^{2}=k $

[fraboz]

colgo l'occasione per segnalare questa dispensa a mio parere molto interessante http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE ... haskar.pdf. Inoltre utilizzando il teorema 3.13 (che sembrerebbe essere fatto apposta per questo problema) oppure utilizzando la funzione del numero di partizioni di un intero n come somma di quadrati si nota facilmente che $ 3245679081= 3^2 \cdot 277 \cdot 769 \cdot 1693 $ soddisfa la tesi

[Mist]

Bellissima dispensa, grazie mille, la posto anche nella sezione glossario

[LeZ]

Il link fornito è molto interessante ad ogni modo che tristezza subito smontato il problema ;(

[exodd]

si nota facilmente che $ 3245679081= 3^2 \cdot 277 \cdot 769 \cdot 1693 $ soddisfa la tesi

Tanto per saperlo.. Hai provato tutte le $ 9*9! $ combinazioni?

[fraboz]

naturalmente no. intanto cercavo un numero che finiva per 41 o 81 per ovvi motivi, poi ho tentato di capire come andavano le cose provando qualche caso più immediato (come è mio solito in tdn) dunque lasciando invariata la parte centrale(puoi facilmente notare che le cifre centrali sarebbero in fila se non fosse che il 4 e l'8 bisognava utilizzarle come penultima cifra) e permutando il 2,3. naturalmente questo procedimento costituisce solo la fase pre-iniziale di una dimostrazione degna di questo nome ed ero intenzionato a proseguire con la dimostrazione se non fosse che per un puro caso "fortuito" (come d'altronde succede frequentemente in tdn tipo vedendo un'equazione modulo qualche primo "speciale" o rendendosi conto di qualche ricorrenza oppure ,dopo aver trovato una o più soluzioni, cercare di dimostrare che esistono solo quelle) il numero in questione soddisfaceva la tesi. Insomma in certi casi ,sicuramente in minoranza rispetto alla totalità, le strategie euristiche (poco eleganti e che ti lasciano un pò l'amaro in bocca) sono più efficaci di quelle formali.

[exodd]

Ok, lo immaginavo, ma...
Come hai fatto a scomporre quel numero???

[LeZ]

Sono d'accordo con te fraboz, io quando ho inventato questo problema ho escluso alcuni casi e ho provato subito per esempio con $ x^{2}+y^{2}=1928374650 $ che per esempio è soddisfatta per $ (27675,34095) $, ma devo dire che senza il programmino java per trovarmi i divisori ci mettevo un pochetto in quanto $ k=2*3^{2}*5^{2}*229*18713 $ Tra l'altro $ 18713=133^{2}+32^{2} $

[fraboz]

Ok, lo immaginavo, ma...
Come hai fatto a scomporre quel numero???

naturalmente con l'aiuto del computer tuttavia è fattibile anche a mano in un tempo relativamente breve con qualche scorciatoia più o meno furba