Diofantea Fattibile

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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<enigma>
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Re: Diofantea Fattibile

Messaggio da <enigma> » 25 ago 2011, 21:50

Drago96 ha scritto:Visto che 'ste coppie non sono ancora saltate fuori, le trovo io, grazie al metodo spiegatomi con moolta pazienza da enigma... :)
Abbiamo che $81770=2 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 37$ e scriviamo come somma di quadrati i vari primi:
$2=1^2+1^2$, $5=2^2+1^2$, $13=3^2+2^2$, $17=4^2+1^2$, $37=6^2+1^2$.
Ora con calma ci ricaviamo tutte le varie coppie...

1) $10=(1^2+1^2)(2^2+1^2)=1^2+3^2$ ed è l'unica rappresentazione di 10 come somma di quadrati.
2) $10\cdot 13=(1^2+3^2)(3^2+2^2)=3^2+11^2=9^2+7^2$
3) $10\cdot 13\cdot 17=(3^2+11^2)(4^2+1^2)=1^2+47^2=23^2+41^2$
$10\cdot 13\cdot 17=(9^2+7^2)(4^2+1^2)=43^2+19^2=29^2+37^2$
4) passaggio finale...
$81770=10\cdot 13\cdot 17\cdot 37=(1^2+47^2)(6^2+1^2)=53^2+281^2=41^2+283^2$
$81770=10\cdot 13\cdot 17\cdot 37=(23^2+41^2)(6^2+1^2)=97^2+269^2=179^2+223^2$
$81770=10\cdot 13\cdot 17\cdot 37=(43^2+19^2)(6^2+1^2)=239^2+157^2=277^2+71^2$
$81770=10\cdot 13\cdot 17\cdot 37=(29^2+37^2)(6^2+1^2)=137^2+251^2=211^2+193^2$

Auff... che fatica... :x

Però mi ha fatto venire voglia di scrivere un programma per scompore un numero in somma di quadrati... :idea:
Ottimo!
Adesso dimostra che i numeri primi in $4 \mathbb N+1$ hanno una e una sola rappresentazione, che è istruttivo.
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Drago96
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Re: Diofantea Fattibile

Messaggio da Drago96 » 26 ago 2011, 10:30

<enigma> ha scritto:Adesso dimostra che i numeri primi in $4 \mathbb N+1$ hanno una e una sola rappresentazione, che è istruttivo.
Mmm... piccolo indizio sulla strada da imboccare? :roll:

P.S: ma se un numero nella sua fattorizzazione ha un primo della forma 4k+3, allora non è scomponibile in somma di due quadrati?
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Re: Diofantea Fattibile

Messaggio da <enigma> » 26 ago 2011, 10:45

Drago96 ha scritto:
<enigma> ha scritto:Adesso dimostra che i numeri primi in $4 \mathbb N+1$ hanno una e una sola rappresentazione, che è istruttivo.
Mmm... piccolo indizio sulla strada da imboccare? :roll:

P.S: ma se un numero nella sua fattorizzazione ha un primo della forma 4k+3, allora non è scomponibile in somma di due quadrati?
Per dimostrare che ne hanno una ti consiglio di usare il lemma di Thue+teorema di Wilson per trovare $n$ tale che $p|n^2+1$; per l'unicità è facile, ho anche messo il link sopra. C'è una caratterizzazione carina delle somme di due quadrati: un numero è esprimibile come somma di due quadrati sse tutti i suoi fattori primi di $4 \mathbb N+3$ appaiono con esponente pari nella sua fattorizzazione. Che quelli della forma $4k-1$ non lo siano è banale, l'identità di Brahmagupta-Fibonacci te l'ho detta... buon lavoro :wink:


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