Trovare le soluzioni (quatrene (p;m;q;n)) di
<BR>p^m-p=q^n-q
<BR>con p e q primi ed m ed n interi positivi.
Equazione diofantea
Moderatore: tutor
se p = q dovremmo avere m = n
<BR>1) la soluzione è (q,q,n,n);
<BR>
<BR>2)
<BR>se m = n
<BR>p^m -p = q^m -q
<BR>da cui
<BR>(p-q)[p^(m-1).....] = p-q
<BR>p^(m-1)+q^(m-1).......... = 1
<BR>il che è impossibile
<BR>
<BR>3)
<BR>p=/=q
<BR>m =/= n
<BR>
<BR>p(p^(m-1)-1) = q(q^(n-1)-1)
<BR>
<BR>se p=/=q allora p = q^(n-1) - 1 che nn è un numero primo
<BR>
<BR>quindi le soluzioni sono solo della forma
<BR>1)
<BR>1) la soluzione è (q,q,n,n);
<BR>
<BR>2)
<BR>se m = n
<BR>p^m -p = q^m -q
<BR>da cui
<BR>(p-q)[p^(m-1).....] = p-q
<BR>p^(m-1)+q^(m-1).......... = 1
<BR>il che è impossibile
<BR>
<BR>3)
<BR>p=/=q
<BR>m =/= n
<BR>
<BR>p(p^(m-1)-1) = q(q^(n-1)-1)
<BR>
<BR>se p=/=q allora p = q^(n-1) - 1 che nn è un numero primo
<BR>
<BR>quindi le soluzioni sono solo della forma
<BR>1)
riproviamo così
<BR>
<BR>dalla 3)
<BR>p^(m-1)-1 = kq
<BR>q^(n-1) -1 = kp
<BR>
<BR>ora qesto è vero se n = p e m = q per il piccolo teorema di fermat ( nn so se possano esserci altre possibilità)
<BR>
<BR>quindi la nostra equazione è della forma
<BR>p^q-p = q^p-q
<BR>
<BR>se p = q + h
<BR>
<BR>abbiamo che
<BR>
<BR>(q+h)^q -h = q^(q+h)
<BR>
<BR>questo è vero se
<BR>
<BR>(q+h)^q > q^(q+h)
<BR>per h = 1 gli unici valori possibili sono p = 2 q = 3 che soddisfano le condizioni ( come avava trovato Nello)
<BR>
<BR>ma se h >1 mi pare che quella disequazione sia falsa (nn l\'ho ancora dimostrato !)
<BR>
<BR>voi che ne dite ?
<BR>ciao<BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: teo il 2002-03-23 21:34 ]</font>
<BR>
<BR>dalla 3)
<BR>p^(m-1)-1 = kq
<BR>q^(n-1) -1 = kp
<BR>
<BR>ora qesto è vero se n = p e m = q per il piccolo teorema di fermat ( nn so se possano esserci altre possibilità)
<BR>
<BR>quindi la nostra equazione è della forma
<BR>p^q-p = q^p-q
<BR>
<BR>se p = q + h
<BR>
<BR>abbiamo che
<BR>
<BR>(q+h)^q -h = q^(q+h)
<BR>
<BR>questo è vero se
<BR>
<BR>(q+h)^q > q^(q+h)
<BR>per h = 1 gli unici valori possibili sono p = 2 q = 3 che soddisfano le condizioni ( come avava trovato Nello)
<BR>
<BR>ma se h >1 mi pare che quella disequazione sia falsa (nn l\'ho ancora dimostrato !)
<BR>
<BR>voi che ne dite ?
<BR>ciao<BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: teo il 2002-03-23 21:34 ]</font>