Polinomio da TST

[Mist]

Dato $n \in \mathbb{N}$, sia $P(x)$ un polinomio di grado $2n$ tale che $P(0)=1$ e $P(k) = 2^k$ per ogni $k=1,2 \dots ,2n$. Dimostrare che $2P(2n+1) -P(2n+2) =1$

[paga92aren]

Credo di averlo risolto...metto la mia idea nascosta...mist mi puoi dire se e' giusta?

Testo nascosto:

$P(x)=\sum_{i=0}^{2n}\binom{x}{i}$
Ma credo abbia sbagliato qualche calcolo dopo mi viene che la tesi e' uguale a $2n+1$

[balossino]

Cominciamo... sia q(x)=p(x)-$2^x$. Sappiamo che q(x) si azzera per ogni k, perciò q(x)=(x-1)(x-2)...(x-2n)r(x) per qualche polinomio r(x). Ma r(x) ha grado zero perché il grado risultante di q(x) non può essere superiore a quello di p(x), cioè 2n. Possiamo perciò scrivere q(x)=a(x-1)(x-2)...(x-2n) e p(x)=a(x-1)(x-2)...(x-2n)+$2^x$

Da qui però mi viene un po' incasinato con i calcoli

[Mist]

Mhm... Paga, non so se la tua idea è giusta perchè io conosco solo una soluzione (che non parte da lì), ma comunque non mi sembra sbagliata, prova a vedere quello che riesci,

[exodd]

L'ho fatto con il metodo dei mattoncini (o interpolazione di Lagrange) e mi viene uguale a Paga..

[Mist]

Bravi entrambi allora perchè in effetti io sono mongolo e il testo originale era con $2^{k-1}$ anzichè con $2^k$ E in effetti esce come avete detto voi nel testo che ho scritto io inizialmente, vi chiedo scusa (va beh, sempre allenamento). Anche la soluzione che uso io mi sembra usare l'interpolazione di lagrange, se qualcuno la posta.

P.s.: scusate comunque

[paga92aren]

Cominciamo... sia q(x)=p(x)-$2^x$. Sappiamo che q(x) si azzera per ogni k, perciò q(x)=(x-1)(x-2)...(x-2n)r(x) per qualche polinomio r(x). Ma r(x) ha grado zero perché il grado risultante di q(x) non può essere superiore a quello di p(x), cioè 2n. Possiamo perciò scrivere q(x)=a(x-1)(x-2)...(x-2n) e p(x)=a(x-1)(x-2)...(x-2n)+$2^x$

Da qui però mi viene un po' incasinato con i calcoli

Un polinomio con dentro $2^x$??? mi sembra piuttosto errato...

[balossino]

Cominciamo... sia q(x)=p(x)-$2^x$. Sappiamo che q(x) si azzera per ogni k, perciò q(x)=(x-1)(x-2)...(x-2n)r(x) per qualche polinomio r(x). Ma r(x) ha grado zero perché il grado risultante di q(x) non può essere superiore a quello di p(x), cioè 2n. Possiamo perciò scrivere q(x)=a(x-1)(x-2)...(x-2n) e p(x)=a(x-1)(x-2)...(x-2n)+$2^x$

Da qui però mi viene un po' incasinato con i calcoli

Un polinomio con dentro $2^x$??? mi sembra piuttosto errato...

Uhm... a rivederlo sembra azzardato anche a me, però non riesco a capire dove sta l'intoppo... q(x) e p(x) sono comunque funzioni di x, e $2^x$ non influenza il grado del polinomio... Comunque questo problema mi ricorda molto il 13 di Febbraio 2007.

[EvaristeG]

Ehm... l'intoppo sta nel fatto che $q(x)$ NON E' UN POLINOMIO. quindi non ha un grado, ad esempio ... non vale che se si annulla in troppi punti allora è nullo, eccetera eccetera. In particolare non è vero che se si annulla in $a$ allora esiste un polinomio $q_1(x)$ tale che $q(x)=(x-a)q_1(x)$.
Quindi, da quando definisci $q(x)$, non è più vero nulla di quel che dici.

[<enigma>]

Cominciamo... sia q(x)=p(x)-$2^x$. Sappiamo che q(x) si azzera per ogni k, perciò q(x)=(x-1)(x-2)...(x-2n)r(x) per qualche polinomio r(x). Ma r(x) ha grado zero perché il grado risultante di q(x) non può essere superiore a quello di p(x), cioè 2n. Possiamo perciò scrivere q(x)=a(x-1)(x-2)...(x-2n) e p(x)=a(x-1)(x-2)...(x-2n)+$2^x$

Da qui però mi viene un po' incasinato con i calcoli

Un polinomio con dentro $2^x$??? mi sembra piuttosto errato...

Uhm... a rivederlo sembra azzardato anche a me, però non riesco a capire dove sta l'intoppo... q(x) e p(x) sono comunque funzioni di x, e $2^x$ non influenza il grado del polinomio... Comunque questo problema mi ricorda molto il 13 di Febbraio 2007.

Sigh...

[balossino]

Ooook, ho capito il problema: nel testo che ho citato q(x) si otteneva per sottrazione (da p(x)) del termine 2k, che non cambia al variare di x e perciò può essere compreso nel termine noto dell'espressione risultante. Questo è costante e uguale al prodotto delle radici del polinomio. Con $2^x$ invece quest'operazione non è fattibile perché al variare di x avremmo più valori diversi del termine noto nella stessa espressione, il che è assurdo.

[ma_go]

Ooook, ho capito il problema: nel testo che ho citato q(x) si otteneva per sottrazione (da p(x)) del termine 2k, che non cambia al variare di x e perciò può essere compreso nel termine noto dell'espressione risultante. Questo è costante e uguale al prodotto delle radici del polinomio. Con $2^x$ invece quest'operazione non è fattibile perché al variare di x avremmo più valori diversi del termine noto nella stessa espressione, il che è assurdo.

no. il problema è "solo" che $2^x$ non è un polinomio (né una funzione polinomiale, ma qui si va già per il sottile, quindi per il momento ignora questa parentesi).

volevo fare un commento (o, se volete, un rilancio): questo problema si può leggere come "dimostrare che la funzione $f:x\mapsto 2^x$ non è polinomiale". ora come ora, mi vengono in mente altre due dimostrazioni (e spiccioli) della cosa:

Testo nascosto:

1. teorema fondamentale dell'algebra;
1': esistenza della chiusura algebrica di un campo -- questo è da MNE, ed è leggermente più debole del precedente;
2: un minimo di stime sul comportamento (a $-\infty$) di $f$ vs il comportamento di un polinomio;
2': un minimo di stime sul comportamento (a $+\infty$) di $f$ vs il comportamento di un polinomio -- questo è più da MNE.

di tutte, la soluzione "interpolo e dimostro l'identità del testo" mi sembra la più elementare. ne avete altre? qualcuno dei "meno esperti" vuole provare a completare le due soluzioni (quelle senza apostrofo) che ho buttato lì?

[EvaristeG]

Ooook, ho capito il problema: nel testo che ho citato q(x) si otteneva per sottrazione (da p(x)) del termine 2k, che non cambia al variare di x e perciò può essere compreso nel termine noto dell'espressione risultante. Questo è costante e uguale al prodotto delle radici del polinomio. Con $2^x$ invece quest'operazione non è fattibile perché al variare di x avremmo più valori diversi del termine noto nella stessa espressione, il che è assurdo.

No. Nel testo che hai citato, q(x) era p(x)-2x (stessa x in p e in 2x) e quindi era sempre un polinomio ... a cui potevi applicare tutto quello che sai.


"Una bicicletta non potrà mai andare più veloce di una macchina da formula 1."
"Neanche se la combino con tante altre biciclette?"
"Ovviamente no, rimangon sempre biciclette"
...dopo qualche tempo...
"Ehi, era una balla ... ho fatto andare una bici più veloce di una macchina da formula 1, combinandola".
"Ma non è possibile, come hai fatto??"
"L'ho caricata su un jet."
"-____-'' "

[Simo_the_wolf]

Forse un metodo un po' più contorto, vediamo se a qualcuno va di completarlo...

Considero il polinomio $ 2P(x) - P(x+1) $. Cos'ha di interessante? che dato mi mancherebbe? so come trovarlo in altri modi?
Considero il polinomio $ P(x+1) - P(x) $. Cos'ha di interessante?