Intero positivo e coprimi
Re: Intero positivo e coprimi
ragazzi, avete altre soluzioni? Mi sto cimentando ma non ci arrivo...
sono solo arrivato ad escludere Bezout perché se i due numeri sono coprimi Bezout ci può aiutare solo nel caso di k=1...
sono solo arrivato ad escludere Bezout perché se i due numeri sono coprimi Bezout ci può aiutare solo nel caso di k=1...
Visitate il mio blog: http://ilblogdidomx.wordpress.com/
Re: Intero positivo e coprimi
Se $as-bt>0$ , la nostra tesi è $as-bt=n$ ; altrimenti è $bt-as=n$ .
Il teorema di Bezout dice che per ogni coppia $a,b$ con $d=MCD(a,b)$ si hanno due interi $x,y$ tali che $ax+by=d$ .
Nel nostro caso $d=1$ per ipotesi, dunque abbiamo dimostrato che esistono sempre $s'.t'$ tali che $as'+bt'=1$ .
Nel primo caso della tesi, basta prendere $s=s'\cdot n$ e $t=-t'\cdot n$ ; nel caso opposto si inverte il meno.
Potrebbe andare?
Il teorema di Bezout dice che per ogni coppia $a,b$ con $d=MCD(a,b)$ si hanno due interi $x,y$ tali che $ax+by=d$ .
Nel nostro caso $d=1$ per ipotesi, dunque abbiamo dimostrato che esistono sempre $s'.t'$ tali che $as'+bt'=1$ .
Nel primo caso della tesi, basta prendere $s=s'\cdot n$ e $t=-t'\cdot n$ ; nel caso opposto si inverte il meno.
Potrebbe andare?
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Intero positivo e coprimi
uhm, però se a e b sono sempre gli stessi avrai solo una s e una t. Se a e b variano per ogni intero positivo, non capisco la tua soluzione.Drago96 ha scritto:Se $as-bt>0$ , la nostra tesi è $as-bt=n$ ; altrimenti è $bt-as=n$ .
Il teorema di Bezout dice che per ogni coppia $a,b$ con $d=MCD(a,b)$ si hanno due interi $x,y$ tali che $ax+by=d$ .
Nel nostro caso $d=1$ per ipotesi, dunque abbiamo dimostrato che esistono sempre $s'.t'$ tali che $as'+bt'=1$ .
Nel primo caso della tesi, basta prendere $s=s'\cdot n$ e $t=-t'\cdot n$ ; nel caso opposto si inverte il meno.
Potrebbe andare?
Però anche la richiesta non è chiarissima, dice: "ove a,b sono due interi positivi coprimi assegnati", ma non dice se sono "fissi" o variano per ogni numero intero da "calcolare" (spero di essermi spiegato bene)...
Visitate il mio blog: http://ilblogdidomx.wordpress.com/
Re: Intero positivo e coprimi
Capisco la tua obiezione al testo, ma non riesco a comprendere quello sugli a e b fissi...
Qualcunque siano $a,b$ esistono gli $s',t'$ no?
Quindi non vedo dove sia sbagliato...
Qualcunque siano $a,b$ esistono gli $s',t'$ no?
Quindi non vedo dove sia sbagliato...
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Intero positivo e coprimi
mi domando se a e b varino per ogni intero naturale risultante o se devono rimanere sempre gli stessi, mi rendo conto che non è chiarissima la cosa, ma non saprei spiegarmi meglio...Drago96 ha scritto:Capisco la tua obiezione al testo, ma non riesco a comprendere quello sugli a e b fissi...
Qualcunque siano $a,b$ esistono gli $s',t'$ no?
Quindi non vedo dove sia sbagliato...
Visitate il mio blog: http://ilblogdidomx.wordpress.com/
Re: Intero positivo e coprimi
Possono anche rimanere gli stessi...
Cioè, con $a,b$ assegnati una sola volta, posso ottenere tutti i naturali... (mi pare)
E anche se cambiassero, si otterrebbero comunque i numeri che si vogliono...
Cioè, con $a,b$ assegnati una sola volta, posso ottenere tutti i naturali... (mi pare)
E anche se cambiassero, si otterrebbero comunque i numeri che si vogliono...
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Intero positivo e coprimi
però la soluzione continuo a non vederla...Drago96 ha scritto:Possono anche rimanere gli stessi...
Cioè, con $a,b$ assegnati una sola volta, posso ottenere tutti i naturali... (mi pare)
E anche se cambiassero, si otterrebbero comunque i numeri che si vogliono...
Visitate il mio blog: http://ilblogdidomx.wordpress.com/
Re: Intero positivo e coprimi
Sei d'accordo che posso sempre trovare $s',t'$ tali che $as'+bt'=1$ ? (bezout)domx ha scritto:però la soluzione continuo a non vederla...Drago96 ha scritto:Possono anche rimanere gli stessi...
Cioè, con $a,b$ assegnati una sola volta, posso ottenere tutti i naturali... (mi pare)
E anche se cambiassero, si otterrebbero comunque i numeri che si vogliono...
bene, moltiplico entrambi i membri per $n$ , il numero che voglio ottenere, e ho che $ans'+bnt'=n$ .
Dunque per avere $s,t$ tali che $as-bt=n$ basta prendere $s=ns'$ e $t=-nt'$ , no?
Potresti essere un po' più chiaro, così magari riesco a capire l'eventuale errore?
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Intero positivo e coprimi
Chi ti assicura che $s$ e $t$ così trovati siano naturali?
Re: Intero positivo e coprimi
Ah, già...EvaristeG ha scritto:Chi ti assicura che $s$ e $t$ così trovati siano naturali?
Adesso ci penso un po'...
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Intero positivo e coprimi
sì, ora ho capito, ma c'è sempre il problema posto da EvaristeG...Drago96 ha scritto:Sei d'accordo che posso sempre trovare $s',t'$ tali che $as'+bt'=1$ ? (bezout)domx ha scritto:però la soluzione continuo a non vederla...Drago96 ha scritto:Possono anche rimanere gli stessi...
Cioè, con $a,b$ assegnati una sola volta, posso ottenere tutti i naturali... (mi pare)
E anche se cambiassero, si otterrebbero comunque i numeri che si vogliono...
bene, moltiplico entrambi i membri per $n$ , il numero che voglio ottenere, e ho che $ans'+bnt'=n$ .
Dunque per avere $s,t$ tali che $as-bt=n$ basta prendere $s=ns'$ e $t=-nt'$ , no?
Potresti essere un po' più chiaro, così magari riesco a capire l'eventuale errore?
Visitate il mio blog: http://ilblogdidomx.wordpress.com/
Re: Intero positivo e coprimi
Vi state perdendo in un bicchier d'acqua... fissate $a,b$ e fissate $k$, tutti maggiori di $0$.
Ora risolvete $ax-by=1$, trovando una soluzione qualsiasi $x=\alpha$, $y=\beta$. Se una tra $\alpha$ e $\beta$ è $0$, allora il problema è ovvio.
Se $\alpha,\beta>0$, abbiamo finito, in quanto $s=k\alpha$, $t=k\beta$ è una soluzione positiva al problema proposto.
Se $\alpha,\beta<0$, allora $a(-\alpha)-b(-\beta)=-1$, quindi $a(-k\alpha)-b(-k\beta)=-k$, quindi $s=-k\alpha$, $t=-k\beta$ è una soluzinoe positiva al problema.
Se $\alpha >0, \beta<0$, allora $a\alpha\geq a$ e $-b\beta\geq b$, quindi $a\alpha-b\beta\geq a+b>1$ che è assurdo, dunque questo caso è impossibile.
Se $\alpha<0$, $\beta>0$, allora $a\alpha\leq-a$ e $-b\beta\leq -b$, quindi $a\alpha-b\beta\leq-a-b<0$, che è ugualmente assurdo.
Basta essere ordinati...
Ora risolvete $ax-by=1$, trovando una soluzione qualsiasi $x=\alpha$, $y=\beta$. Se una tra $\alpha$ e $\beta$ è $0$, allora il problema è ovvio.
Se $\alpha,\beta>0$, abbiamo finito, in quanto $s=k\alpha$, $t=k\beta$ è una soluzione positiva al problema proposto.
Se $\alpha,\beta<0$, allora $a(-\alpha)-b(-\beta)=-1$, quindi $a(-k\alpha)-b(-k\beta)=-k$, quindi $s=-k\alpha$, $t=-k\beta$ è una soluzinoe positiva al problema.
Se $\alpha >0, \beta<0$, allora $a\alpha\geq a$ e $-b\beta\geq b$, quindi $a\alpha-b\beta\geq a+b>1$ che è assurdo, dunque questo caso è impossibile.
Se $\alpha<0$, $\beta>0$, allora $a\alpha\leq-a$ e $-b\beta\leq -b$, quindi $a\alpha-b\beta\leq-a-b<0$, che è ugualmente assurdo.
Basta essere ordinati...