In una citta ci sono 4 Pub, A B C e D tutti collegati tra loro tranne A e D. Un ubriacone cominciando da A gira casualmnete (tutte le direzioni consentite sono equiprobabili) i Pub fermandosi ad ogni Pub da cui passa facendo una bevuta ogni volta.
a) qual'è la probabilità che l'ubriacono faccia la sua quinta bevuta in C ?
b) Dove sarà più probabilmnete l'ubriacone alla sua $ n $-esima bevuta?
Cesenatico 95 - 3
Cesenatico 95 - 3
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Cesenatico 95 - 3
Boh dai, sperimento una tecnica per me quasi nuova...
Da A e da D partono due strade, da B e da C ne partono tre. Noto che da un pub da cui partono due strade si arriva a due pub con cui partono tre strade, e se parto da un pub da cui partono tre strade posso andare o in due pub diversi da cui partono due strade o in un pub da cui partono tre strade. Noto poi che all'n-esima bevuta la probabilità di essere in A è pari alla probabilità di essere in D e la probabilità di essere in B è pari alla probabilità di essere in C per la simmetria stessa della configurazione. Detto quindi $C_{n,3}$ il numero di tutti i casi possibili per cui all'n-esima bevuta si è ad un pub da cui partono tre strade e $C_{n,2}$il numero di tutti i casi possibili per cui all'n-esima bevuta si è ad un pub da cui partono due strade, si nota subito che
$C_{3,n} =2C_{2,n-1}+C_{3,n-1}$ e $C_{2,n} = 2C_{3,n-1}$. (già ora facendo il grafico ad albero noto che per $n=5$ è più probabile che il bevitore si trovi in un pub da cui partono tre strade, provo a dimostrarlo nel modo più formale possibile). Ponendo per comodità $C_{3,n}=x_n$ si nota subito che $x_{n+1} = x_n+4x_{n-1}$. Il polinomio caratteristico di questa successione è $x^2-x-4=0$ che ci fa arrivare a dire che $\displaystyle x_n = a\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} \right) ^{n} + b\left( \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n}$ per una qualche coppia di $a,b$ che, imponendo che per $n=0$ e $n=1$ si ottengano come risultati $x_0 = 0$ e $x_1 = 2$, si rivela essere $\displaystyle (a,b) = \left( \frac{2}{\sqrt{17}},-\frac{2}{\sqrt{17}}\right)$. Si è ottenuto insomma che
$\displaystyle x_n = \frac{2}{\sqrt{17}}\left(\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} \right) ^{n} - \left( \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n} \right)$
$\displaystyle C_{2,n}=y_n =\frac{4}{\sqrt{17}}\left(\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} \right) ^{n-1} - \left( \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n-1} \right)$
E quindi
$\displaystyle \frac{x_n}{y_n} = \frac{\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} \right) ^{n} - \left( \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n}}{2\left(\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} \right) ^{n-1} - \left( \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n-1} \right)}\geq \frac{\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} - \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n}}{2\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} - \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n-1} } = \frac{\sqrt{17}}{2} \geq 1$ che dimostra che all'n-esima bevuta si è sempre con maggiore probabilità nei pub B o C.
Bon, la soluzione è lunga, schifosa e leggermente contosa, mi sa che mi sono complicato moltissimo la vita
e mi sa anche che mi sono perso qualcosa di stupido dietro.
Da A e da D partono due strade, da B e da C ne partono tre. Noto che da un pub da cui partono due strade si arriva a due pub con cui partono tre strade, e se parto da un pub da cui partono tre strade posso andare o in due pub diversi da cui partono due strade o in un pub da cui partono tre strade. Noto poi che all'n-esima bevuta la probabilità di essere in A è pari alla probabilità di essere in D e la probabilità di essere in B è pari alla probabilità di essere in C per la simmetria stessa della configurazione. Detto quindi $C_{n,3}$ il numero di tutti i casi possibili per cui all'n-esima bevuta si è ad un pub da cui partono tre strade e $C_{n,2}$il numero di tutti i casi possibili per cui all'n-esima bevuta si è ad un pub da cui partono due strade, si nota subito che
$C_{3,n} =2C_{2,n-1}+C_{3,n-1}$ e $C_{2,n} = 2C_{3,n-1}$. (già ora facendo il grafico ad albero noto che per $n=5$ è più probabile che il bevitore si trovi in un pub da cui partono tre strade, provo a dimostrarlo nel modo più formale possibile). Ponendo per comodità $C_{3,n}=x_n$ si nota subito che $x_{n+1} = x_n+4x_{n-1}$. Il polinomio caratteristico di questa successione è $x^2-x-4=0$ che ci fa arrivare a dire che $\displaystyle x_n = a\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} \right) ^{n} + b\left( \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n}$ per una qualche coppia di $a,b$ che, imponendo che per $n=0$ e $n=1$ si ottengano come risultati $x_0 = 0$ e $x_1 = 2$, si rivela essere $\displaystyle (a,b) = \left( \frac{2}{\sqrt{17}},-\frac{2}{\sqrt{17}}\right)$. Si è ottenuto insomma che
$\displaystyle x_n = \frac{2}{\sqrt{17}}\left(\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} \right) ^{n} - \left( \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n} \right)$
$\displaystyle C_{2,n}=y_n =\frac{4}{\sqrt{17}}\left(\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} \right) ^{n-1} - \left( \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n-1} \right)$
E quindi
$\displaystyle \frac{x_n}{y_n} = \frac{\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} \right) ^{n} - \left( \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n}}{2\left(\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} \right) ^{n-1} - \left( \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n-1} \right)}\geq \frac{\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} - \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n}}{2\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} - \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n-1} } = \frac{\sqrt{17}}{2} \geq 1$ che dimostra che all'n-esima bevuta si è sempre con maggiore probabilità nei pub B o C.
Bon, la soluzione è lunga, schifosa e leggermente contosa, mi sa che mi sono complicato moltissimo la vita
e mi sa anche che mi sono perso qualcosa di stupido dietro.
Ultima modifica di Mist il 06 mag 2011, 13:51, modificato 1 volta in totale.
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
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Re: Cesenatico 95 - 3
Ho fatto il grafo ad albero su excel (così ho tanto spazio) e mi viene che la probabilità di essere in C è di ${29 \over 94}$
Dato che c'era la tabella, ho contato le altre probabilità: $A = {18 \over 94}$ $B = {29 \over 94}$ $D = {18 \over 94}$
Se facessi un grafo ad albero in gara in questa situazione, quanti punti sarebbero?? (sempre se ci sta sul foglio...
)
Dato che c'era la tabella, ho contato le altre probabilità: $A = {18 \over 94}$ $B = {29 \over 94}$ $D = {18 \over 94}$
Se facessi un grafo ad albero in gara in questa situazione, quanti punti sarebbero?? (sempre se ci sta sul foglio...
)Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Cesenatico 95 - 3
Beh, certamente ti darebbero tutto i punti che si danno a chiunque risolva correttamente il punto 1. Oltretutto ora che ci ritorno mi pare che basti una induzione da lì ( un qualcosa che parta con: ecco dimostrato quindi che per N=5 si ha che P(di essere in a)= P(di essere in D) < P(essere in C)= P(di essere in B). Supponiamo che sia vero per n....) e si finisce anche se è solo una impressione così, di sfuggita 
Provaci se vuoi, non ti prometto niente
anche se è solo una impressione così, di sfuggita Provaci se vuoi, non ti prometto niente"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
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"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
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Re: Cesenatico 95 - 3
MI sembra tornare tutto... anche se mi sembra strano che la probabilità di trovarsi in C o in B sia più del doppio di quella di trovarsi in A o D..
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Cesenatico 95 - 3
Guarda che 29 non è più del doppio di 18...amatrix92 ha scritto:MI sembra tornare tutto... anche se mi sembra strano che la probabilità di trovarsi in C o in B sia più del doppio di quella di trovarsi in A o D..
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Re: Cesenatico 95 - 3
si vabè io dico per n.. cioè ho riguardato il procediamento e fila tutto.. diciamo che è curioso come risultato
Bonus: Quando vale $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \ p(C)+p(B) $
Bonus: Quando vale $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \ p(C)+p(B) $
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Cesenatico 95 - 3
$\displaystyle \lim_{n\to \infty} p(C)+p(B) = \frac{C_{3,n}}{C_{n,3}+C_{n,2}} = \frac{1}{1+\frac{C_{n,2}}{C_{n,3}}}$
ma siccome si ha che
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{C_{n,2}}{C_{n,3}} = \frac{\frac{4}{\sqrt{17}}\left(\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} \right) ^{n-1} - \left( \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n-1} \right)}{ \frac{2}{\sqrt{17}}\left(\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} \right) ^{n} - \left( \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n} \right)} = 2$ si ha che la probabilità di essere in $B$ o in $C$ con l'aumentare delle bevute tende a $\frac{1}{3}$ e la probabilità di trovarsi in $A$ o in $D$ con l'aumentare delle bevute tende a $\frac{2}{3}$
ma siccome si ha che
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{C_{n,2}}{C_{n,3}} = \frac{\frac{4}{\sqrt{17}}\left(\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} \right) ^{n-1} - \left( \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n-1} \right)}{ \frac{2}{\sqrt{17}}\left(\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} \right) ^{n} - \left( \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n} \right)} = 2$ si ha che la probabilità di essere in $B$ o in $C$ con l'aumentare delle bevute tende a $\frac{1}{3}$ e la probabilità di trovarsi in $A$ o in $D$ con l'aumentare delle bevute tende a $\frac{2}{3}$
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Re: Cesenatico 95 - 3
Qualcuno ha una soluzione meno contosa? 
Io dal lavoro di Mist sono arrivato a $\displaystyle{P(3,n)=\frac{x_{n-1}+4x_{n-2}}{3x_{n-1}+4x_{n-2}}}$ , con cui si arriva al risultato ma solo grazie a WolframAlpha...
Io dal lavoro di Mist sono arrivato a $\displaystyle{P(3,n)=\frac{x_{n-1}+4x_{n-2}}{3x_{n-1}+4x_{n-2}}}$ , con cui si arriva al risultato ma solo grazie a WolframAlpha...
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Re: Cesenatico 95 - 3
mhm...
Facciamo che ti fai i casi fino alla terza bevuta a mano e noti che la probabilità che alla terza bevuta l'alcolizzato sia in $B$ o in $C$ è maggiore rispetto a quella che sia in $A$ o in $D$...
Definisco:
$P_k(BC) = \mbox{Probabilità che alla k-esima bevuta l'alcolizzato sia in B o C} $,
$P_k(AD) = \mbox{Probabilità che alla k-esima bevuta l'alcolizzato sia in A o D} $
Ipotesi induttiva: $3P_k(AD) >P_k(BC) >P_k(AD)$, Si verifica essere per $k=2,3$ vera
Passo induttivo: Per $k+1$ si nota subito che
$P_{k+1}(BC) =P_k(AD)+ \frac{1}{3}P_k(BC)$ e $P_{k+1}(AD) =\frac{2}{3}P_k(BC)$
Ma per l'ipotesi induttiva si ha che $3P_k(AD) >P_k(BC)$, ovvero $P_k(AD) >\frac{1}{3}P_k(BC)$, ovvero $P_{k}(AD)+\frac{1}{3}P_k(BC)>\frac{2}{3}P_k(BC)$ e perciò
$P_{k+1}(BC) =P_k(AD)+ \frac{1}{3}P_k(BC)>\frac{2}{3}P_k(BC)=P_{k+1}(AD)$
meno contosa di così non ci riesco, va meglio ?
Facciamo che ti fai i casi fino alla terza bevuta a mano e noti che la probabilità che alla terza bevuta l'alcolizzato sia in $B$ o in $C$ è maggiore rispetto a quella che sia in $A$ o in $D$...
Definisco:
$P_k(BC) = \mbox{Probabilità che alla k-esima bevuta l'alcolizzato sia in B o C} $,
$P_k(AD) = \mbox{Probabilità che alla k-esima bevuta l'alcolizzato sia in A o D} $
Ipotesi induttiva: $3P_k(AD) >P_k(BC) >P_k(AD)$, Si verifica essere per $k=2,3$ vera
Passo induttivo: Per $k+1$ si nota subito che
$P_{k+1}(BC) =P_k(AD)+ \frac{1}{3}P_k(BC)$ e $P_{k+1}(AD) =\frac{2}{3}P_k(BC)$
Ma per l'ipotesi induttiva si ha che $3P_k(AD) >P_k(BC)$, ovvero $P_k(AD) >\frac{1}{3}P_k(BC)$, ovvero $P_{k}(AD)+\frac{1}{3}P_k(BC)>\frac{2}{3}P_k(BC)$ e perciò
$P_{k+1}(BC) =P_k(AD)+ \frac{1}{3}P_k(BC)>\frac{2}{3}P_k(BC)=P_{k+1}(AD)$
meno contosa di così non ci riesco, va meglio ?
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Re: Cesenatico 95 - 3
Molto bella!
Per il punto a) basta prendere $x_{n+1}=x_n+4x_{n-1}$ e la formula per la probabilità di essere in B o C ed è fatta.
Per il punto a) basta prendere $x_{n+1}=x_n+4x_{n-1}$ e la formula per la probabilità di essere in B o C ed è fatta.
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Re: Cesenatico 95 - 3
una domanda: l'ubriacone effettua la sua prima bevuta in A? se così fosse(come parrebbe dal testo) il risultato di drago96 è sbagliato. quello giusto dovrebbe essere $ \displaystyle \frac{9}{38} $
editato dopo il messaggio successivo
editato dopo il messaggio successivo
Ultima modifica di fraboz il 29 lug 2011, 14:55, modificato 1 volta in totale.
Re: Cesenatico 95 - 3
Potrebbe anche essere che si consideri A come prima bevuta...fraboz ha scritto:una domanda: l'ubriacone effettua la sua prima bevuta in A? se così fosse(come parrebbe dal testo) il risultato di drago96 è sbagliato. quello giusto dovrebbe essere $ \displaystyle \frac{14}{38} $
Comunque la probabilità in questo caso mi viene $ \displaystyle \frac{9}{38} $
Chiedo conferma, anche se ne sono abbastanza sicuro dato che con lo stesso metodo ho calcolato l'altra probabilità...
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Re: Cesenatico 95 - 3
si scusa è $ 9/38 $..