Successione

[ale.G]

Sia $h$ un intero positivo e sia $a_n$ la successione definita per ricorrenza nel modo seguente:

$a_o=1$

$a_{n+1}=\frac{a_n}{2}$ se $a_n$ è pari oppure $a_n + h$ se $a_n$ è dispari.

Per quali valori di $h$ esiste $n>0$ per cui $a_n=1$?

[exodd]

Un po' di Hint

Hint 1

Testo nascosto:

h è pari o dispari?

Hint 2

Testo nascosto:

la successione è limitata?

Hint 3

Testo nascosto:

com'è il primo numero che si ripete? pari o dispari?

Hint 4

Testo nascosto:

Qual'è il numero prima di quello che si ripete per primo?

[xXStephXx]

Io ho visto che $ h $ deve essere dispari. Poi provando i primi numeri dispari fino a $ 19 $ ho visto che prima o poi becco un $ a_{n} $ che è potenza di $ 2 $ e che quindi una volta arrivati alla potenza di $ 2 $ ci sarà sicuramente un $ a_{n+x}=1 $.Però per i numeri che vanno oltre il $ 19 $ non saprei dire..

EDIT: ora ho provato per $ h=29 $ e ho visto che gli elementi si ripetono senza arrivare a potenze di $ 2 $.

[ale.G]

Si può facilmente vedere che se $h$ è pari, la successione sarà costituita solo da numeri dispari , e sarà strettamente crescente.
Da qui $h$ non può essere pari.
Facile anche vedere che se $h$ è uguale a $2^n-1$ per qualsiasi valore di $n$ la tesi è soddisfatta.
Da qui ho provato a continuare, anche grazie agli hint di exodd, ma non ho capito il 3°

[xXStephXx]

Allora prima ho detto una cantonata, col 29 si arriva ad una potenza di 2.

[xXStephXx]

Ok, la soluzione dovrebbe essere:
$ h=2n+1 $

Testo nascosto:

Codice: Seleziona tutto

List<int> match = new List<int>();
            for (int i = 1; i < 1000; i+=2)
            {
                int start = 1;
                List<int> repetitions = new List<int>();
                repetitions.Add(1);
                bool condition = false;
                do
                {
                    if (start % 2 == 1)
                        start += i;
                    else
                        start /= 2;
                    if(repetitions.Contains(start))
                        condition=true;
                    repetitions.Add(start);
                } while (start != 1 && !condition);
                if (start == 1)
                    match.Add(i);
            }

Naturalmente ho sperimentato solo per i primi $ 500 $ numeri dispari, quindi per il resto non saprei, però le aspettative sono quelle...

Credo solo che vada dimostrato in modo matematico che alla fine si giunge sempre a un $ a_{n}=2^k $ ed è fatta!

[paga92aren]

Se $h=0$ funziona!!!, se $h$ dispari:
Prendo in considerazione solo gli $a_n$ il cui valore è dispari.
1) $a_n<h$ (induzione)
2) la successione è illimitata quindi si ripete ciclicamente
3) 1 è parte del ciclo: per assurdo esistono $a$ e $b$ tali che $a+h=2^n(b+h)$ per qualche $n>0$ quindi per 1) si ottiene $n=0$ che è assurdo.

Rilancio: stimare dopo quanti $a_n$ sono sicuro di ottenere uno uguale a 1. Vince chi fa la minore stima per eccesso.

[exodd]

per assurdo esistono $a$ e $b$ tali che $a+h=2^n(b+h)$ per qualche $n>0$ quindi per 1) si ottiene $n=0$ che è assurdo.

Spiega meglio

p.s. Per il bonus: Sicuramente meno di $ 2h $, ma non so se 'è stima migliore
p.s.2 Ok, è impossibile raggiungere dispari maggiori o uguali a $ h $, quindi la stima si riduce a $ 2h-(h+1)/2 $.. Inoltre è impossibile raggiungere 2h, quindi $ 3(h-1)/2 $ (per $ h>1 $) (si può ancora migliorare.. Forse..)

[paga92aren]

Scusa ma era mezzanotte e non volevo dilungarmi.
Se il ciclo non comprende 1 allora due numeri diversi "producono" lo stesso numero.
Quindi $\frac{a+h}{2^x}=c$ e $\frac{b+h}{2^y}=c$ con $a\not =b$ quindi $x\not =y$ e (wlog $a>b$) si ottiene $a+h=2^n(b+h)$ con $n=x-y>0$.
Con la condizione $a<h$ si ottiene $2h>a+h=2^n(b+h)>2^nh$ da cui si deduce $n=0$ che è assurdo.

[exodd]

uguale alla mia.. Dovevi solo precisare che a,b erano dispari e capivo..
Per il bonus che dici?

[paga92aren]

Si può migliorare...
Hint

Testo nascosto:

MCD

[exodd]

O.O
Non so se c'entra col tuo hint, ma ho trovato questo

Testo nascosto:

$ (3/2)ord_{1/2}h $

[paga92aren]

Forse intendevi $\frac{3}{2}ord_h(2^{-1})$?
Puoi illustrare il perché?

[exodd]

beh.. Se guardi tutti i termini della successione modulo h, scopri che sono inversi di potenze di 2...
Dato poi che da 1 a 2h ci sono solo 2 numeri con la stessa classe di resto modulo h, e che dei numeri da h a 2h puoi prendere solo i numeri dispari, arrivi a quella stima...
Che tra parentesi non è molto precisa.. Si dovrebbe stimare quanti sono esattamente le classi che sono contemporaneamente dispari e inversi di potenze di due...

Codice: Seleziona tutto

h	stima	esatto	differenza

3	3	3	0
5	6	6	0
7	4	4	0
9	9	9	0
11	15	15	0
13	18	18	0
15	6	5	1
17	12	12	0
19	27	27	0
21	9	8	1
23	16	15	1
25	30	30	0
27	27	27	0
29	42	42	0
31	7	6	1
33	15	15	0
35	18	17	1
37	54	54	0
39	18	16	2
41	30	30	0
43	21	21	0
45	18	17	1
47	34	32	2
49	31	31	0
51	12	10	2
53	78	78	0
55	30	28	2
57	27	27	0
59	87	87	0
61	90	90	0
63	9	7	2
65	18	18	0
67	99	99	0
69	33	33	0
71	52	49	3
73	13	12	1
75	30	29	1
77	45	45	0
79	58	56	2
81	81	81	0
83	123	123	0
85	12	10	2
87	42	39	3
89	16	15	1
91	18	16	2
93	15	13	2
95	54	50	4
97	72	72	0
99	45	45	0
101	150	150	0
103	76	74	2
105	18	16	2
107	159	159	0
109	54	54	0
111	54	50	4
113	42	42	0
115	66	63	3
117	18	15	3
119	36	33	3
121	165	165	0
123	30	26	4
125	150	150	0
127	10	8	2
129	21	21	0
131	195	195	0
133	27	26	1
135	54	53	1
137	102	102	0
139	207	207	0
141	69	69	0
143	90	85	5
145	42	42	0
147	63	62	1
149	222	222	0
151	22	20	2
153	36	34	2
155	30	28	2
157	78	78	0
159	78	73	5
161	49	48	1
163	243	243	0
165	30	27	3
167	124	119	5
169	234	234	0
171	27	27	0
173	258	258	0
175	90	89	1
177	87	87	0
179	267	267	0
181	270	270	0
183	90	86	4
185	54	54	0
187	60	61	-1
189	27	25	2
191	142	136	6
193	144	144	0
195	18	15	3
197	294	294	0
199	148	144	4
201	99	99	0
203	126	126	0
205	30	30	0
207	99	99	0
209	135	135	0
211	315	315	0
213	105	105	0
215	42	37	5
217	22	20	2
219	27	24	3
221	36	31	5
223	55	50	5
225	90	89	1
227	339	339	0
229	114	114	0
231	45	42	3
233	43	39	4
235	138	133	5
237	117	112	5
239	178	171	7
241	36	36	0
243	243	243	0
245	126	125	1
247	54	51	3
249	123	123	0
251	75	75	0
253	165	162	3
255	12	9	3
257	24	24	0
259	54	51	3
261	126	123	3
263	196	190	6
265	78	78	0
267	33	32	1
269	402	402	0
271	202	197	5
273	18	16	2
275	30	28	2
277	138	138	0
279	45	43	2
281	105	105	0
283	141	141	0
285	54	54	0
287	90	86	4
289	204	204	0
291	72	69	3
293	438	438	0
295	174	170	4
297	135	135	0
299	198	198	0
301	63	60	3
303	150	145	5
305	90	90	0
307	153	153	0
309	153	148	5
311	232	223	9
313	234	234	0
315	18	15	3
317	474	474	0
319	210	205	5
321	159	159	0
323	108	109	-1
325	90	90	0
327	54	49	5
329	103	103	0
331	45	45	0
333	54	50	4
335	198	189	9
337	31	28	3
339	42	36	6
341	15	12	3
343	220	220	0
345	66	66	0
347	519	519	0
349	522	522	0
351	54	51	3
353	132	132	0
355	210	210	0
357	36	34	2
359	268	259	9
361	513	513	0
363	165	165	0
365	54	53	1
367	274	270	4
369	90	86	4
371	234	234	0
373	558	558	0
375	150	149	1
377	126	126	0
379	567	567	0
381	21	18	3
383	286	278	8
385	90	90	0
387	63	63	0
389	582	582	0
391	132	127	5
393	195	195	0
395	234	234	0
397	66	66	0
399	27	22	5
401	300	300	0
403	90	89	1
405	162	161	1
407	270	262	8
409	306	306	0
411	102	101	1
413	261	260	1
415	246	241	5
417	207	207	0
419	627	627	0
421	630	630	0
423	207	207	0
425	60	58	2
427	90	92	-2
429	90	90	0
431	64	56	8
433	108	108	0
435	42	37	5
437	297	294	3
439	109	104	5
441	63	61	2
443	663	663	0
445	66	64	2
447	222	215	7
449	336	336	0
451	30	25	5
453	45	41	4
455	18	14	4
457	114	114	0
459	108	106	2
461	690	690	0
463	346	343	3
465	30	27	3
467	699	699	0
469	99	93	6
471	78	72	6
473	105	105	0
475	270	266	4
477	234	229	5
479	358	346	12
481	54	54	0
483	99	99	0
485	72	63	9
487	364	361	3
489	243	243	0
491	735	735	0
493	84	83	1
495	90	87	3
497	157	154	3
499	249	249	0
501	249	249	0
503	376	366	10
505	150	150	0
507	234	232	2
509	762	762	0
511	13	10	3
513	27	27	0
515	306	301	5
517	345	340	5
519	258	249	9
521	390	390	0
523	783	783	0
525	90	88	2
527	60	56	4
529	379	378	1
531	261	261	0
533	90	90	0
535	318	311	7
537	267	267	0
539	315	315	0
541	810	810	0
543	270	264	6
545	54	54	0
547	819	819	0
549	90	91	-1
551	378	365	13
553	58	55	3
555	54	52	2
557	834	834	0
559	126	127	-1
561	60	58	2
563	843	843	0
565	42	42	0
567	81	79	2
569	426	426	0
571	171	171	0
573	285	285	0
575	330	327	3
577	216	216	0
579	144	136	8
581	369	368	1
583	390	386	4
585	18	15	3
587	879	879	0
589	135	134	1
591	294	283	11
593	222	222	0
595	36	32	4
597	297	288	9
599	448	436	12
601	37	34	3
603	99	99	0
605	330	328	2
607	454	448	6
609	126	126	0
611	414	409	5
613	918	918	0
615	30	26	4
617	231	231	0
619	927	927	0
621	297	297	0
623	49	45	4
625	750	750	0
627	135	135	0
629	108	103	5
631	67	64	3
633	315	315	0
635	42	39	3
637	126	124	2
639	315	315	0
641	96	96	0
643	321	321	0
645	42	39	3
647	484	473	11
649	435	435	0
651	45	42	3
653	978	978	0
655	390	384	6
657	27	24	3
659	987	987	0
661	990	990	0
663	36	32	4
665	54	50	4
667	462	462	0
669	111	106	5
671	90	86	4
673	72	72	0
675	270	269	1
677	1014	1014	0
679	72	67	5
681	339	339	0
683	33	33	0
685	102	102	0
687	114	115	-1
689	234	234	0
691	345	345	0
693	45	41	4
695	414	402	12
697	60	57	3
699	87	83	4
701	1050	1050	0
703	54	49	5
705	138	138	0
707	450	449	1
709	1062	1062	0
711	117	110	7
713	82	78	4
715	90	84	6
717	357	357	0
719	538	523	15
721	76	77	-1
723	36	32	4
725	210	210	0
727	181	179	2
729	729	729	0
731	84	79	5
733	366	366	0
735	126	124	2
737	495	495	0
739	369	369	0
741	54	48	6
743	556	546	10
745	222	222	0
747	369	369	0
749	477	477	0
751	562	555	7
753	75	75	0
755	90	88	2
757	1134	1134	0
759	165	159	6
761	570	570	0
763	54	52	2
765	36	33	3
767	522	511	11
769	576	576	0
771	24	20	4
773	1158	1158	0
775	30	25	5
777	54	48	6
779	270	275	-5
781	105	108	-3
783	378	375	3
785	78	78	0
787	1179	1179	0
789	393	393	0
791	126	118	8
793	90	90	0
795	78	75	3
797	1194	1194	0
799	276	272	4
801	99	98	1
803	135	135	0
805	198	195	3
807	402	395	7
809	606	606	0
811	405	405	0
813	405	394	11
815	486	471	15
817	189	189	0
819	18	14	4
821	1230	1230	0
823	616	612	4
825	30	28	2
827	1239	1239	0
829	1242	1242	0
831	138	136	2
833	252	249	3
835	498	487	11
837	135	133	2
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1799	72	67	5
1801	37	32	5
1803	75	71	4
1805	1026	1022	4
1807	414	405	9
1809	297	297	0
1811	543	543	0
1813	378	375	3
1815	330	327	3
1817	643	642	1
1819	636	626	10
1821	909	896	13
1823	1366	1344	22
1825	270	269	1
1827	126	127	-1
1829	435	434	1
1831	457	459	-2
1833	414	414	0
1835	1098	1089	9
1837	1245	1245	0
1839	918	898	20
1841	589	583	6
1843	216	203	13
1845	90	86	4
1847	1384	1363	21
1849	903	903	0
1851	231	231	0
1853	108	105	3
1855	234	222	12
1857	927	927	0
1859	1170	1165	5
1861	2790	2790	0
1863	891	891	0
1865	558	558	0
1867	2799	2799	0
1869	99	95	4
1871	1402	1380	22
1873	1404	1404	0
1875	750	749	1
1877	2814	2814	0
1879	1408	1395	13
1881	135	135	0
1883	1206	1205	1
1885	126	126	0
1887	108	106	2
1889	708	708	0
1891	90	85	5
1893	135	130	5
1895	1134	1110	24
1897	202	202	0
1899	315	315	0
1901	2850	2850	0
1903	1290	1279	11
1905	42	38	4
1907	2859	2859	0
1909	1353	1350	3
1911	126	124	2
1913	358	343	15
1915	1146	1129	17
1917	945	945	0
1919	1350	1328	22
1921	84	83	1
1923	96	83	13
1925	90	87	3
1927	690	683	7
1929	321	321	0
1931	2895	2895	0
1933	966	966	0
1935	126	123	3
1937	666	666	0
1939	414	422	-8
1941	969	969	0
1943	1386	1370	16
1945	582	582	0
1947	435	435	0
1949	2922	2922	0
1951	1462	1446	16
1953	45	41	4
1955	132	128	4
1957	459	467	-8
1959	978	957	21
1961	702	702	0
1963	90	86	4
1965	390	383	7
1967	315	303	12
1969	1335	1335	0
1971	27	21	6
1973	2958	2958	0
1975	1170	1170	0
1977	987	987	0
1979	2967	2967	0
1981	423	410	13
1983	990	982	8
1985	66	66	0
1987	2979	2979	0
1989	36	31	5
1991	270	263	7
1993	1494	1494	0
1995	54	48	6
1997	2994	2994	0
1999	499	494	5

[paga92aren]

Mi sfugge la dimostrazione di quanto hai detto.
Inoltre in alcuni casi la tua stima è minore del valore reale (il primo caso che ho ricontrollato anch'io è $h=187$).