C'è un modo "semplice" per determinare il rapporto tra i lati che un triangolo (con area fissata) deve avere per avere minima la somma dei raggi delle exinscritte?
E per le aree?
Scusatemi se la domanda è stupida...
Minimizzare somma dei raggi/aree exinscritte
Minimizzare somma dei raggi/aree exinscritte
Someone, somewhere, is always doing something someone else said was impossible.
Il pi greco è il George Clooney della matematica.
La bellezza di un esercizio è inversamente proporzionale al rapporto tra la sua difficoltà e la semplicità con cui è posto.
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Re: Minimizzare somma dei raggi/aree exinscritte
$ r_a+r_b+r_c=4R+r $. Così è già più sempliceClara ha scritto:C'è un modo "semplice" per determinare il rapporto tra i lati che un triangolo (con area fissata) deve avere per avere minima la somma dei raggi delle exinscritte?
E per le aree?
Scusatemi se la domanda è stupida...
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
Re: Minimizzare somma dei raggi/aree exinscritte
Ehm... Perché?
Someone, somewhere, is always doing something someone else said was impossible.
Il pi greco è il George Clooney della matematica.
La bellezza di un esercizio è inversamente proporzionale al rapporto tra la sua difficoltà e la semplicità con cui è posto.
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Re: Minimizzare somma dei raggi/aree exinscritte
Sostituisci $\displaystyle r_a = \frac{S}{p-a}$, $\displaystyle r= \frac{S}{p}$ e $\displaystyle R=\frac{abc}{4S}$, fai i contacci ricordandoti di Erone ( e magari prima sposti $r$ a sinistra) ed ecco il perchè di quel robo
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
1Cor 13:2
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Re: Minimizzare somma dei raggi/aree exinscritte
Clara penso chiedesse come si dimostra quello che ha detto enigmaMist ha scritto:Sostituisci $\displaystyle r_a = \frac{S}{p-a}$, $\displaystyle r= \frac{S}{p}$ e $\displaystyle R=\frac{abc}{4S}$, fai i contacci ricordandoti di Erone ( e magari prima sposti $r$ a sinistra) ed ecco il perchè di quel robo
"Problem solving can be learned only by solving problems"
Re: Minimizzare somma dei raggi/aree exinscritte
appunto...<enigma> ha scritto:$ r_a+r_b+r_c=4R+r $. Così è già più sempliceClara ha scritto:C'è un modo "semplice" per determinare il rapporto tra i lati che un triangolo (con area fissata) deve avere per avere minima la somma dei raggi delle exinscritte?
E per le aree?
Scusatemi se la domanda è stupida...
$$\displaystyle r_a+r_b+r_c=4R+r \rightarrow \frac{S}{p-a}+\frac{S}{p-b}+\frac{S}{p-c} -\frac{S}{p} = 4\frac{abc}{4S}$$
$$ \frac{p(p-b)(p-c) +p(p-a)(p-c) +p(p-a)(p-c)-(p-a)(p-b)(p-c)}{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \frac{abc}{S^2}$$
Ricordando che per la formula di Erone $S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, si ha che
$$ \frac{p(p-b)(p-c) +p(p-a)(p-c) +p(p-a)(p-c)-(p-a)(p-b)(p-c)}{S^2} = \frac{abc}{S^2}$$
$$2p^3-(a+b+c)p^2 +abc = abc$$
che è vero, e quindi la equazione iniziale è vera
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Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
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Re: Minimizzare somma dei raggi/aree exinscritte
Meraviglioso!
Grazie mille a tutti, gentilissimi come al solito!
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