- $\deg(P_n)=n-1$
- $\displaystyle \forall i\in \{1,2,3,\dots , n-1,n\}:\ P_n(i)=i^i$
p.s. inventato da enigma
Fin qui, non ho controllato con cura i vari indici ma è tutto giusto, pure formalmente (il limite di prodotto lo puoi scomporre in prodotto di limiti dato che sono tutti e 2 finiti quindi tutto ok anche formalmente)bĕlcōlŏn ha scritto:Allora... Innanzitutto mi ricavo $P(n+1)$. Per farlo utilizzo un metodo simpatico.
Definisco $D_1(P(x))=P(x)-P(x-1)$ e poi per ricorrenza $D_k(P(x))=D_{k-1}(P(x))-D_{k-1}(P(x-1))$, per ogni $n\geq 2$. Ogni volta che faccio quest'operazione il grado diminuisce di uno perché i coefficienti direttivi si annullano, e si dimostra per induzione che $D_k(P(x))=\displaystyle\sum_{i=0}^k {k\choose i} (-1)^i P(x-i)$. Siccome il grado scende sempre di uno, in questo caso dopo $n$ passaggi si ottiene $D_n(P(x))=\displaystyle\sum_{i=0}^n {n\choose i} (-1)^i P(x-i)=0$.
Ora valuto tutto in $n+1$ isolando $P(n+1)$. E' facile vedere che si ottiene
$P(n+1)=-\displaystyle\sum_{i=1}^n {n \choose n-i}(-1)^i P(n-i+1)$
D'altra parte sappiamo che per ogni $1\leq i \leq n$, $P(n-i+1)=(n-i+1)^{n-i+1}$. Dunque
$P(n+1)=-\displaystyle\sum_{i=1}^n {n \choose n-i}(-1)^i (n-i+1)^{n-i+1}$
Ora spero che quello che sto per fare sia lecito
Innanzitutto mostro che $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{{n \choose n-i}(n-i+1)^{n-i+1}}{(n+1)^{n+1}} = \dfrac{e^{-i}}{i!}$. Uso un'induzione: nel caso $i=1$ viene $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}$, che fa proprio $e^{-1}$. Ora passo da $i$ a $i+1$. Suppongo valga $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{{n \choose n-i}(n-i+1)^{n-i+1}}{(n+1)^{n+1}} = \dfrac{e^{-i}}{i!}$, allora
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{{n \choose n-i-1}(n-i)^{n-i}}{(n+1)^{n+1}} =\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{{n \choose n-i}(n-i+1)^{n-i+1}}{(n+1)^{n+1}} \cdot \displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{(n-i)^{n-i+1}}{(i+1)(n-i+1)^{n-i+1}}= $
$= \dfrac{e^{-i}}{(i+1)!}\cdot \displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1-\dfrac{1}{n-i+1}\right)^{n-i+1} = \dfrac{e^{-i-1}}{(i+1)!}$.
Qui invece dai un poco i numeri... così come l'hai scritta non ha senso... all'apice della sommatoria ci sta un $n$ che non è nulla... forse volevi metterci $\infty$... ma anche in questo modo viene fuori una cosa che non è esattamente ovvia, dato che staresti dicendo, senza motivazioni, che: $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^nf(n,i)=\sum_{i=0}^{\infty}\lim_{n\to \infty}f(n,i)$ che insomma... mica è vera per ogni scelta di $f$... poi invece dopo la prima fantasiosa uguaglianza è tutto giusto (assumendo che all'apice della sommatoria ci sia $\infty$ ). Non c'è niente da giustificare, la storia dello sviluppo è vera per definizionebĕlcōlŏn ha scritto: $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{P(n+1)}{(n+1)^{n+1}} =\displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\lim_{n\to \infty} -(-1)^i \dfrac{{n \choose n-i}(n-i+1)^{n-i+1}}{(n+1)^{n+1}}= \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{e^{-i}\cdot (-1)^{i+1}}{i!} = -\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{(-e^{-1})^{i}}{i!}$.
Ora quello è lo sviluppo di $e^x$, tranne il primo termine, quindi diventa $1-e^{-e^{-1}}$. Ora esattamente quest'ultima cosa dello sviluppo non saprei giustificarla, come posso fare? Comunque spero sia tutto ok.