Alcuni fatti famosi sulle medie

[amatrix92]

Dimostrare che preso un trapezio e alcuni segmenti paralleli alle basi allora:

• i) il segmento passante per l'intersezione delle diagonali è uguale alla media armonica delle basi
  ii) il segmento che divide il trapezio in due trapezi simili è uguale alla media geometrica delle basi
  iii) il segmento che unisce i punti medi dei lati obliqui è uguale alla media artimetica delle basi
  iv) il segmento che divide il trapezio in due trapezi equiestesi è uguale alla media quadratica delle basi .

[Hawk]

Rispondo al più semplice:



iii) Per prima cosa dimostro, ragionando per assurdo, che $ MN \| AB \| DC $.
Neghiamo la tesi. Costruisco allora $ r \| AB \| DC $. $ r $ incontra il lato $ BC $ in $ N' $. Per Talete avrò $ CN' \cong N'B $, contraddizione delle ipotesi in quanto $ BC $ avrebbe due punti medi $ => $ la tesi $ MN \| AB \| DC $ è vera.
Costruisco una diagonale del trapezio, in questo caso $ DB $.
Considero il triangolo $ ADB $, $ ML $ appartiene a $ MN $ ed è quindi parallelo alla base, incontra la diagonale per Talete nel suo punto medio $ L $.
Costruisco ancora una retta $ s $ parallela ad $ AD $ passante per $ L $, per Talete avrò $ AP \cong PB $, dove $ P $ è il punto medio di $ AB $. $ APLM $ è un parallelogramma $ => $ $ ML \cong \displaystyle\frac{AB}{2} $
Faccio lo stesso ragionamento con $ LN $ ottenendo alla fine:

$ ML+LN \cong \displaystyle\frac{AB}{2} + \displaystyle\frac{DC}{2}= MN\cong \displaystyle\frac{AB+DC}{2} $

[balossino]

ii) il segmento che divide il trapezio in due trapezi simili è uguale alla media geometrica delle basi

Io a quello subito dopo in ordine di difficoltà. Dette b e B le basi minore e maggiore, abbiamo b:x=x:B, da cui la tesi.

[Hawk]

• iv) il segmento che divide il trapezio in due trapezi equiestesi è uguale alla media quadratica delle basi .

Ci provo.



Poniamo $ k $ l'altezza del trapezio di basi $ a $ e $ b $
Poichè avevamo che i due trapezi erano equiestesi possiamo porre:

$ \begin{cases}(a+b)k=\displaystyle\frac{(a+c)h}{2} \\ (a+b)k=(b+c)(h-k) \end{cases} $

Dal sistema otteniamo:
$ b=\displaystyle\frac{\sqrt{2(a^2+c^2)}}{2} $

[pepperoma]

Sia ABCD il trapezio, P il punto di intersezione delle diagonali, XY la parallela per P alle basi AB e CD con X su AD e Y su BC. Per similitudine di APX e ACD, XP:CD=AX:AD. Analogamente dall'altra parte, PY:CD=BY:BC. Tuttavia, per Talete, AX:AD=BY:BC e di conseguenza XP=PY. Quindi, riprendendo la suddetta similitudine, risulta XY=2XP=2CDxAP/AC. Ancora, per la similudine di ABP e CDP, si ha AB:CD=AP:PC e cioè AB/AB+CD=AP/AC, da cui sostituendo nella relazione precedente XY=2CDxAB/AB+CD, che è esattamente la media armonica di AB e CD.

[amatrix92]

iii) bene (quando intruduci il punto P è meglio dire che è )
ii) Bene
i) questo era quello un po' più difficile a mio parere, giusto !
iv) mmm.. o c'è un typo o non ho capito cosa hai fatto... in ogni caso puoi scrivere un paio di passaggi dopo il sistema...

[Hawk]

Ok.
iii)Edito il primo errore, quello sul punto $ P $.

iv)Si, c'era un typo.
La situazione qui è un po' spinosa, comunque avevamo:

$ \begin{cases}(a+b)k=\displaystyle\frac{(a+c)h}{2} \\ (a+b)k=(b+c)(h-k) \end{cases} $

$ k $ era l'altezza del trapezio di base $ a $e $ b $, mentre $ h $ l'altezza del trapezio di base $ a $ e $ c $.
La prima equazione deriva dal fatto che essendo i due trapezi equivalenti, allora sono uguali a metà area del trapezio con basi$ a $ e $ c $.
Ricavo quindi: $ \frac{(a+b)k}{2}=\frac{(a+c)h}{2}\cdot\frac{1}{2} $, moltiplico da entrambe le parti per $ 2 $ ottenendo la prima equazione del sistema.
La seconda equazione sfrutta l'ipotesi del fatto che le aree dei due trapezi sono uguali.

Dalla prima equazione mi ricavo $ k=\displaystyle\frac{(a+c)h}{2(a+b)} $

Dalla seconda ricavo $ b=\displaystyle\frac{-[(a+c)k-ch]}{2k-h} $

Sostituiamo $ k $. Ottenendo così $ b=\displaystyle\frac{\sqrt{2(a^2+c^2)}}{2}=\sqrt{\displaystyle\frac{a^2+c^2}{2}} $

Spero vada bene.
Potreste dirmi se c'è un metodo più semplice?