Barcone

[karotto]

http://imageshack.us/photo/my-images/28/probpe.png/

[Valenash]

Per non coinvolgere l'analisi, facciamo il simmetrico di A e di B rispetto alle sponde del fiume, la distanza minima ci sarà quando AXYB sta su una retta.
Inoltre, dovendo scegliere noi la posizione di X e Y, una volta fatti i simmetrici vediamo che la lunghezza di AXYB è uguale a
$\sqrt{1^2 + (4-x)^2} + \sqrt{1^2 + x^2}$, da cui si vede facilmente che x (che è il doppio della distanza di X dall'inizio della riva su cui sta X) deve essere 2 per minimizzare la distanza, pertanto X si trova a 1/4 della riva, cioè a 1km dall'inizio della sua riva (inizio è dalla parte dove è A).
Analogamente, Y è a 3/4.
$min (AX+XY+XB) = \sqrt{1^2 + (2)^2} + \sqrt{1^2 + 2^2} = 2 \cdot \sqrt5 $
e $AX = \sqrt{(0,5)^2 + (1)^2} = \frac {\sqrt 5}{2}$.

Spero si capisca nonostante l'assenza della figura con i punti A e B ribaltati =)

[sasha™]

Un altro partecipante al concorso di Matematicamente?

[Valenash]

Un altro partecipante al concorso di Matematicamente?

what's that

[ileo83]

io ho fatto un triplo ribaltamento del fiume rispetto ad una delle sponde. cioe' ho tre copie del fiume. allora, per essere la distanza AXY'B'' mimina, i punti devono stare su una retta. ergo, tornando al singolo fiume, gli angoli tra sponde e segmenti AX, XY, YB devono essere di pi/4. Se ne deduce, poiche il lato minore del barcone e' =2, che i segmenti AA1, BB1 sono uguali e pari a 1, dove A1 e B1 sono i vertici del rettangolo che stanno sui lati maggiori contenenti X e Y rispettivamente. per finire XY1=2, Y1 la base della proiezione ortogonale di Y sul lato opposto.

[ileo83]

@Valenash: come fai a dire che quella funzione di x ha il minimo per x=2? poi, ti volevo chiedere, che tipo di ribaltamento hai fatto tu, per costruire codesta funzione? hai una figura?

[Valenash]

@Valenash: come fai a dire che quella funzione di x ha il minimo per x=2? poi, ti volevo chiedere, che tipo di ribaltamento hai fatto tu, per costruire codesta funzione? hai una figura?

Beh, apparte che si vede a occhio, ma se $x \neq 2$, allora i punti non stanno su una retta e dunque la lunghezza è maggiore.
Per la figura, entro sera la faccio, edito il messaggio aggiungendola

p.s. ma a te vengono gli stessi risultati??

[ileo83]

beh si, che si vede a occhio e' una parola, vallo a dimostrare, e' che ci sono le radici in mezzo. che poi lo fai geometricamente allora e' un altro discorso. si, io l'ho fatto appunto geometricamente, pero' invece di fare i simmetrici, ho avuto bisogno di fare 3 simmetrie, che generano appunto le 3 copie del fiume. poi si, il risultato e' lo stesso, a me viene x=1, dove x e' il cateto del triangolo AXV, V vertice corrispondente. immagino la tua x sia il doppio della mia. comunque si, il risultato dovrebbe essere =.

[Valenash]

beh si, che si vede a occhio e' una parola, vallo a dimostrare, e' che ci sono le radici in mezzo. che poi lo fai geometricamente allora e' un altro discorso. si, io l'ho fatto appunto geometricamente, pero' invece di fare i simmetrici, ho avuto bisogno di fare 3 simmetrie, che generano appunto le 3 copie del fiume. poi si, il risultato e' lo stesso, a me viene x=1, dove x e' il cateto del triangolo AXV, V vertice corrispondente. immagino la tua x sia il doppio della mia. comunque si, il risultato dovrebbe essere =.

ok scusa XD
facciamolo algebricamente:
Se $x \neq (4-x)$, allora avremo $x= 2+\alpha$ e $4-x=2-\alpha$ (o viceversa).
Mostriamo che vale:
$\sqrt{1^2 + (2+\alpha)^2} + \sqrt{1^2 + (2-\alpha)^2} \ge \sqrt{1^2 + 2^2} + \sqrt{1^2 + 2^2}$
eleviamo al quadrato:
$ 1 + 4 + \alpha^2 + 4\alpha + 1 + 4 + \alpha^2 - 4\alpha + 2\sqrt{(1 + 4 + \alpha^2 + 4\alpha)(1 + 4 + \alpha^2 - 4\alpha)} \ge 1 + 4 + 1 + 4 + 10$
$ \alpha^2 + \sqrt{(1 + 4 + \alpha^2 + 4\alpha)(1 + 4 + \alpha^2 - 4\alpha)} \ge 5$, ora portiamo $\alpha^2$ a sinistra, facciamo di nuovo il quadrato e verifichiamo l'uguaglianza (non sto a spiegare perchè si può fare il quadrato, si vede )=)
$\alpha^4 - 6\alpha^2 + 25 \ge \alpha^4 -10\alpha^2 + 25 \rightarrow 0 \ge -4\alpha^2$ e ora sì che vale l'uguaglianza sse $\alpha=0$

[ileo83]

beh scusa, in realta' no, se alpha=0 il primo membro e'>0.

comunque geometricamente e' decisamente meglio
aspetto codesta figura

[Valenash]

beh scusa, in realta' no, se alpha=0 il primo membro e'>0.

comunque geometricamente e' decisamente meglio
aspetto codesta figura

pardon, avevo fatto giusto un paio di errori di calcolo.. corretto ed editato XD
ecco l'immagine:



se non capisci qualcosa dillo

[ileo83]

no tutto chiaro. ho capito adesso. io ottengo una cosa simile alla tua, in cui devo imporre che tre segmenti stanno allineati sulla stessa retta. tu l'hai ottenuto facendo i simmetrici di A e B su lati opposti. io invece ho tenuto A fisso, e ribaltato il fiume su se stesso una prima volta. cosi' costruisco Y'. Dopodiche', prendo questo fiume e lo ribalto nuovamente, e trovo il punto B''. A quel punto impongo che A X Y' e B'' sono tutti allineati, e ottengo la tua stessa condizione. in pratica la mia spezzata e' come la tua solo che passa per A e finisce in B''. Il punto B'' sta a sulla retta che contiene B e in alto (o anche in basso) a distanza 4 da B. comunque, stessa figura (a meno di simmetrie+traslazioni) e stesso risultato.

p.s. con cosa hai fatto la figura? ti e' venuta bene direi.

[Valenash]

p.s. con cosa hai fatto la figura? ti e' venuta bene direi.

Ho capito =)
la figura l'ho fatta con paint XD e un minimo di pazienza =P

[ileo83]

valenash, tra l'altro, osserva che la mia sol. ti permette di risolvere qualunque problema in cui si fa spola tra le due rive per piu' di 1 volta il tuo caso, direi che non e' generalizzabile ad N punti X1,X2...XN

[Valenash]

valenash, tra l'altro, osserva che la mia sol. ti permette di risolvere qualunque problema in cui si fa spola tra le due rive per piu' di 1 volta il tuo caso, direi che non e' generalizzabile ad N punti X1,X2...XN

no certo è vero, l'ho fatto appunto perchè c'erano solo due rimbalzi, altrimenti occorre fare tanti ribaltamenti come giustamente hai detto tu