$3^k-1=y^n$

[LukasEta]

Trovare le terne di naturali $(k,y,n)$ tali che:
$3^k-1=y^n$.

(Da un cesefake trovato sul sito di andfog,senza soluzione..)

Metto la mia soluzione in hide per chi volesse farla... Comunque date un'occhiata anche alla mia perchè non è detto sia corretta

Testo nascosto:

$3^k=y^n+1$.

Osservazioni:
-$y$ deve essere pari.
-$y^n\equiv -1 \mod 3$
-Per rispettare la congruenza modulo 3, $n$ deve essere dispari: infatti con $n$ pari non possiamo ottenere $y^n\equiv -1 \mod 3$ (residui quadratici).
-Per $n=1$, ottengo la soluzione $(k,3^k-1,1)$, valida per ogni $k$.

Pongo $n\geq 2$: allora RHS è congruo a 1 modulo 4. (infatti $2|y \rightarrow 4|y^n$).
Ma allora deve essere $3^k\equiv -1^k\equiv 1 \mod 4$,per cui $k$ deve essere pari da cui pongo $k=2m$ con $m$ naturale.
L'equazione diventa $(3^m+1)(3^m-1)=y^n$: chiamo $(3^m+1)=y^a$ e $(3^m-1)=y^b\rightarrow y^a-y^b=2$ (con $a+b=n$)
Se $a,b$ diversi da 0 (e diversi tra loro, in quanti se fossero uguali otterrei 0), osservo che le uniche due potenze di uno stesso numero a differire di esattamente 2 sono $2^2$ e $2^1$, da cui $y=2$,$a=2$,$b=1$: Per cui ottengo la terna $(2,2,3)$, mentre per $a$ o $b$ uguali a 0 non ho soluzioni naturali.

Le terne di soluzioni naturali sono $(k,3^k-1,1);(2,2,3)$.

[bĕlcōlŏn]

Trovare le terne di naturali $(k,y,n)$
L'equazione diventa $(3^m+1)(3^m-1)=y^n$: chiamo $(3^m+1)=y^a$ e $(3^m-1)=y^b\rightarrow y^a-y^b=2$ (con $a+b=n$)

Questo passaggio non è corretto. Non è detto che $3^m+1$ e $3^m-1$ siano potenze di $y$. Infatti se $y$ non fosse primo, tipo $y=6$, potresti anche avere $(3^m+1)=2\cdot 3^{n-1}$ e $(3^m-1)=3\cdot 2^{n-1}$.
Cambia strada, ti suggerisco di scomporre $y^n+1$ e ragionare sui suoi fattori...

[LukasEta]

ok.. considerando buono ciò che ho detto fino a quel punto:

$3^k=y^n+1=(y+1)(y^{n-1}-y^{n-2}+y^{n-3}......-y+1)$.

abbiamo che $y\equiv -1 \mod 3$: non può essere che che $3^k$ sia completamente contenuto dentro uno solo dei due fattori. (si verifica ponendo entrambi i fattori uguali ad 1).
Allora $3|(y^{n-1}-y^{n-2}+y^{n-3}......-y+1)$, e ciò accade per $n\equiv 0 \mod 3$, dunque pongo $n=3m$.

Ho che $3^k=y^{3m}+1=(y^m+1)(y^{2m}-y^m+1)$
Dunque posso porre $(y^m+1)=3^a$, $(y^{2m}-y^m+1)=3^b$, e mettere a sistema.

ottengo che $3^{2a}-3^{a+1}+3=3^b$, che è vera solo per
$a=1, b=1\rightarrow k=2$. (con valori maggiori di 1 per la $a$, LHS non è nemmeno una potenza di 3).

per $k=2$ ottengo l'unica terna $(2,2,3)$.

ça va?

[fraboz]

mah tento io anche se non amo le dimostrazione a casi :
caso 1: pongo $ n=2m $, $ m \in \mathbb N $.mi tolgo il caso in cui $ k=0 $ che da come soluzioni $ y=0, \forall n \in \mathbb N_0 $(naturalmente $ y=0; n=0 $ è impossibile). adesso posso avere due sottocasi $ \gcd(y;3)=1 $, $ \gcd(y;3)=3 $. il primo sottocaso è impossibile in quanto si avrebbe che $ 3^k=(y^m)^2+1 $ cioè per il PTF $ 2 \equiv 0\mod3 $. il secondo sottocaso è impossibile perchè si avrebbe $ 1 \equiv 0\mod3 $.
caso 2: pongo $ n=2m+1 $. mi tolgo il caso in cui $ m=0 $ che mi da come soluzioni $ y=3^k-1; \forall k \in \mathbb N_0 $ poi fattorizzo: $ 3^k=(y+1)(\displaystyle \sum_{i=1}^m(y^{2i}-y^{2i-1})+1) $ da cui ottengo $ y \equiv -1 \mod3 $ e dal secondo fattore $ 2m+1 \equiv 0 \mod3 $. dunque pongo $ 2m+1=3 \cdot (2h+1), h \in \mathbb N $. da ciò riscrivo l'equazione iniziale che diventa $ 3=(y^{2h+1})^3+1 $ da cui $ 3^k=(y^{2h+1}+1)(y^{2(2h+1)}-y^{2h+1}+1) $ adesso sfrutto che $ \gcd(a;b)= \gcd(b;a \pm kb) $ da cui ottengo (se vi fidate ) $ \gcd(1°fattore;2°fattore)=3 $ in altre parole sono potenze di $ 3 $ che hanno $ \gcd=3 $. dunque se $ y^{2h+1}+1=3 $ allora $ n=3(2h+1)=3; y=2; k=2 $ e se $ y^{2(2h+1)}-y^{2h+1}+1=3 $ allora ottengo la stessa soluzione di prima.

[bĕlcōlŏn]

ça va?

ça va!

[fraboz]

ça và pure la mia?