Me ne sono accorto solo ora, ma, ad esempio, per n=1 viene ${243 \over 8}$, che è un razionale... Ci sono dei gradini a metà??Hawk ha scritto:Bonus: se l'altezza totale della torre è espressa da $ \displaystyle\sum _{n=1}^{99} (3^n\cdot\frac{3^{n+3}}{2^{n+2}}) $ a quanto equivale l'altezza di ciascuna scala?
Faticosa evasione
Re: Faticosa evasione
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Faticosa evasione
Lascialo perdere il bonus, forse è ancora troppo presto provare ad inventare esercizi intelligenti .
Comunque sia, dato che le scale hanno tutte la medesima altezza, ti basta calcolare la sommatoria e dividere.
Comunque sia, dato che le scale hanno tutte la medesima altezza, ti basta calcolare la sommatoria e dividere.
Ultima modifica di Hawk il 02 mag 2011, 15:29, modificato 1 volta in totale.
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »
Re: Faticosa evasione
L'hai inventato te?Hawk ha scritto:Lascialo perdere il bonus, forse è ancora troppo presto provare ad inventare esercizi intelligenti .
Comunque ora provo a darlo in pasto al computer e vediamo che mi dice...
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Re: Faticosa evasione
Sì.
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Re: Faticosa evasione
Javascript ha scritto:4.0409837685768794e+65
Questo è il numero totale degli scalini... Un po' alta come torre, non trovi???
Codice (perchè temo sempre di fare errori...)
Testo nascosto:
Per cosa? Non hai detto il numero di piani (o forse è 99... )Hawk ha scritto:Comunque sia, dato che le scale hanno tutte la medesima altezza, ti basta calcolare la sommatoria e dividere.
Vabbeh, provo a risolverla e vedo cosa mi viene (tanto non riuscirò a risolverla... )
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Re: Faticosa evasione
Stavamo parlando della torre di Jack no ? Il numero di piani è 221, da quei dati ti trovi il numero di scale.
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Re: Faticosa evasione
Va bene, posto quello che ho fatto:
Altezza della torre:
$ \displaystyle\sum_{n=1}^{99} \frac{3^{2n+3}}{2^{n+2}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{99}\left[\frac{243}{8}\cdot\left(\frac{9}{2}\right)^n\right]=\frac{243}{8}\cdot\displaystyle\sum_{n=1}^{99}\left(\frac{9}{2}\right)^n $
Bene adesso dovrei utilizzare una formula chiusa ma non so se l'ho applicata bene:
$ \displaystyle\frac{243}{8}\cdot\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{99}\left(\frac{9}{2}\right)^n+\left(\frac{9}{2}\right)^{99}-1\right)=\left[\displaystyle\frac{243}{8}\cdot\left(\frac{1-\left(\displaystyle\frac{9}{2}\right)^{99}}{1-\displaystyle\frac{9}{2}}+\left(\frac{9}{2}\right)^{99}-1\right)\right] $
Altezza di ciascuna scala:
$ \left[\displaystyle\frac{243}{8}\cdot\left(\frac{1-\left(\displaystyle\frac{9}{2}\right)^{99}}{1-\displaystyle\frac{9}{2}}+\left(\frac{9}{2}\right)^{99}-1\right)\right]:\displaystyle\sum_{n=1}^{221}n $
Questo è quello che sono riuscito a fare,però ora ci vogliono i calcolatori !
Sperando che quello fatto sia giusto!
Mio Dio! Che mare di conti, credo proprio di lasciarlo perdere questo maledetto bonus!
Io intendevo per l'altezza della torre, senza considerare i gradini, la somma dell'altezze di tutte le scale, che sono uguali.
Praticamente questo post è pieno di calcoli errati.
Altezza della torre:
$ \displaystyle\sum_{n=1}^{99} \frac{3^{2n+3}}{2^{n+2}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{99}\left[\frac{243}{8}\cdot\left(\frac{9}{2}\right)^n\right]=\frac{243}{8}\cdot\displaystyle\sum_{n=1}^{99}\left(\frac{9}{2}\right)^n $
Bene adesso dovrei utilizzare una formula chiusa ma non so se l'ho applicata bene:
$ \displaystyle\frac{243}{8}\cdot\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{99}\left(\frac{9}{2}\right)^n+\left(\frac{9}{2}\right)^{99}-1\right)=\left[\displaystyle\frac{243}{8}\cdot\left(\frac{1-\left(\displaystyle\frac{9}{2}\right)^{99}}{1-\displaystyle\frac{9}{2}}+\left(\frac{9}{2}\right)^{99}-1\right)\right] $
Altezza di ciascuna scala:
$ \left[\displaystyle\frac{243}{8}\cdot\left(\frac{1-\left(\displaystyle\frac{9}{2}\right)^{99}}{1-\displaystyle\frac{9}{2}}+\left(\frac{9}{2}\right)^{99}-1\right)\right]:\displaystyle\sum_{n=1}^{221}n $
Questo è quello che sono riuscito a fare,però ora ci vogliono i calcolatori !
Sperando che quello fatto sia giusto!
Mio Dio! Che mare di conti, credo proprio di lasciarlo perdere questo maledetto bonus!
Io intendevo per l'altezza della torre, senza considerare i gradini, la somma dell'altezze di tutte le scale, che sono uguali.
Praticamente questo post è pieno di calcoli errati.
Ultima modifica di Hawk il 02 mag 2011, 19:22, modificato 4 volte in totale.
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Re: Faticosa evasione
Questo mi pare sbagliato... Non dovrebbe essere:Hawk ha scritto:Va bene, posto quello che ho fatto:
$ \displaystyle\sum_{n=1}^{99} \frac{3^{2n+3}}{2^{n+2}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{99}\left[\frac{243}{8}\cdot\left(\frac{9}{2}\right)^n\right] $
$ \displaystyle\sum_{n=1}^{99}\frac{27}{4}\cdot\left(\frac{9}{2}\right)^n $
???
Non saprei aiutarti, dato che non so cosa sia...Hawk ha scritto:Bene adesso dovrei utilizzare una formula chiusa ma non so se l'ho applicata bene
Però, guardando su wikipedia, direi:
$ \displaystyle\frac{27}{4}\cdot{9^{100}-9 \over 9-1}\cdot{2-1 \over 2^{100} - 2} $
Potrebbe essere giusto???
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Re: Faticosa evasione
Nel primo caso hai considerato n=0, invece dovevi partire da n=1.
Per la seconda: sto letteramente impazzendo per il Latex e quel mare di contazzi!
L'unica formula utile per quel passaggio, che ho trovato è questa:
$ \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} x^i=\displaystyle\frac{1-x^n}{1-x} $
Chiaramente applicata al mio caso l'intervallo di valori va da 0 a 98, quindi devo aggiungere x^99 e togliere 1 perchè lo zero non era compreso.
Per la seconda: sto letteramente impazzendo per il Latex e quel mare di contazzi!
L'unica formula utile per quel passaggio, che ho trovato è questa:
$ \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} x^i=\displaystyle\frac{1-x^n}{1-x} $
Chiaramente applicata al mio caso l'intervallo di valori va da 0 a 98, quindi devo aggiungere x^99 e togliere 1 perchè lo zero non era compreso.
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Re: Faticosa evasione
Ho semplicemente fatto $ \displaystyle\sum_{n=1}^{99}{3^{2n+3} \over 2^{n+2}} = \sum_{n=1}^{99}{3^n \cdot 3^n \cdot 3^3 \over 2^n \cdot 2^2} = \sum_{n=1}^{99}{27 \over 4}\cdot \left({9 \over 2}\right)^n $Hawk ha scritto:Nel primo caso hai considerato n=0, invece dovevi partire da n=1.
Io ho trovato questa (che è praticamente uguale, ma non ti incasini a dover portare la i a 0... ):Hawk ha scritto:Per la seconda: sto letteramente impazzendo per il Latex e quel mare di contazzi!
L'unica formula utile per quel passaggio, che ho trovato è questa:
$ \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} x^i=\displaystyle\frac{1-x^n}{1-x} $
(e immagino di aver fatto bene le sostituzioni... )
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Re: Faticosa evasione
Mi hai dato un'idea :
$ \displaystyle\sum_{n=1}^{99} \frac{3^{2n+3}}{2^{n+2}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{98}\left[\frac{243}{8}\cdot\left(\frac{9}{2}\right)^n\right]=\frac{243}{8}\cdot\displaystyle\sum_{n=0}^{98}\left(\frac{9}{2}\right)^n $
Ora:
$ \displaystyle\frac{243}{8}\cdot\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{98-1}\left(\frac{9}{2}\right)^n+\left(\frac{9}{2}\right)^{98}\right)=\left[\displaystyle\frac{243}{8}\cdot\left(\frac{1-\left(\displaystyle\frac{9}{2}\right)^{98}}{1-\displaystyle\frac{9}{2}}+\left(\frac{9}{2}\right)^{98}\right)\right] $
Altezza di ciascuna scala:
$ \left[\displaystyle\frac{243}{8}\cdot\left(\frac{1-\left(\displaystyle\frac{9}{2}\right)^{98}}{1-\displaystyle\frac{9}{2}}+\left(\frac{9}{2}\right)^{98}\right)\right]:\displaystyle\sum_{n=1}^{221}n $
Perdona l'errore.
La tua idea era comunque buona, probabilmente migliore della mia, ma per risparmiare tempo ho ricopiato i conti e aggiustato, adesso dovrebbe essere tutto giusto.
$ \displaystyle\sum_{n=1}^{99} \frac{3^{2n+3}}{2^{n+2}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{98}\left[\frac{243}{8}\cdot\left(\frac{9}{2}\right)^n\right]=\frac{243}{8}\cdot\displaystyle\sum_{n=0}^{98}\left(\frac{9}{2}\right)^n $
Ora:
$ \displaystyle\frac{243}{8}\cdot\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{98-1}\left(\frac{9}{2}\right)^n+\left(\frac{9}{2}\right)^{98}\right)=\left[\displaystyle\frac{243}{8}\cdot\left(\frac{1-\left(\displaystyle\frac{9}{2}\right)^{98}}{1-\displaystyle\frac{9}{2}}+\left(\frac{9}{2}\right)^{98}\right)\right] $
Altezza di ciascuna scala:
$ \left[\displaystyle\frac{243}{8}\cdot\left(\frac{1-\left(\displaystyle\frac{9}{2}\right)^{98}}{1-\displaystyle\frac{9}{2}}+\left(\frac{9}{2}\right)^{98}\right)\right]:\displaystyle\sum_{n=1}^{221}n $
Perdona l'errore.
La tua idea era comunque buona, probabilmente migliore della mia, ma per risparmiare tempo ho ricopiato i conti e aggiustato, adesso dovrebbe essere tutto giusto.
Ultima modifica di Hawk il 02 mag 2011, 18:31, modificato 1 volta in totale.
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »
Re: Faticosa evasione
Non mi pare che sia molto diverso...
Comunque io direi che la somma è:
$ \displaystyle\frac{27}{4}\cdot{9^{100}-9 \over 9-1}\cdot{2-1 \over 2^{100} - 2} = {3^3 \cdot(3^{200} - 3^2) \over 2^2 \cdot 2^3 \cdot 2(2^{99}-1)} = {3^5(3^{198}-1) \over 2^6(2^{99}-1)} $
Che, diviso per 221, dà circa $ 1,6 \cdot 10^{63}$
Come ho già detto, un po' alto per essere una torre...
Comunque io direi che la somma è:
$ \displaystyle\frac{27}{4}\cdot{9^{100}-9 \over 9-1}\cdot{2-1 \over 2^{100} - 2} = {3^3 \cdot(3^{200} - 3^2) \over 2^2 \cdot 2^3 \cdot 2(2^{99}-1)} = {3^5(3^{198}-1) \over 2^6(2^{99}-1)} $
Che, diviso per 221, dà circa $ 1,6 \cdot 10^{63}$
Come ho già detto, un po' alto per essere una torre...
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Re: Faticosa evasione
Adesso che guardo bene, la nostra è proprio una serie geometrica:
$ \displaystyle\sum_{k=0}^{n}ar^k=\displaystyle\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r} $
Provo ad applicarla nel nostro caso;
$ \displaystyle\sum_{n=1}^{99} \frac{3^{2n+3}}{2^{n+2}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{98}\left[\frac{243}{8}\cdot\left(\frac{9}{2}\right)^n\right]=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{243}{8}\left[1-\left(\displaystyle\frac{9}{2}\right)^{99}\right]}{1-\displaystyle\frac{9}{2}} $
Quindi il risultato finale deve essere dato da: $ \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{243}{8}\left[1-\left(\displaystyle\frac{9}{2}\right)^{99}\right]}{1-\displaystyle\frac{9}{2}}:\displaystyle\sum_{n=1}^{221}n $
D'accordissimo sul fatto che una torre del genere non esista
$ \displaystyle\sum_{k=0}^{n}ar^k=\displaystyle\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r} $
Provo ad applicarla nel nostro caso;
$ \displaystyle\sum_{n=1}^{99} \frac{3^{2n+3}}{2^{n+2}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{98}\left[\frac{243}{8}\cdot\left(\frac{9}{2}\right)^n\right]=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{243}{8}\left[1-\left(\displaystyle\frac{9}{2}\right)^{99}\right]}{1-\displaystyle\frac{9}{2}} $
Quindi il risultato finale deve essere dato da: $ \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{243}{8}\left[1-\left(\displaystyle\frac{9}{2}\right)^{99}\right]}{1-\displaystyle\frac{9}{2}}:\displaystyle\sum_{n=1}^{221}n $
D'accordissimo sul fatto che una torre del genere non esista
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »
Re: Faticosa evasione
Oggi in classe ho pensato a un problema alquanto stupido, sempre sulle sommatorie.
Prima l'ho risolto con la sommatoria, poi mi è venuta un'idea che lo rendeva molto più semplice e veloce da calcolare...
Comunque è questo:
Calcolare la somma di -1-2-3-4-5+6+7+...+100 (cinque meno e cinque più)
Lo so, è abbastanza scemo...
Soluzione senza sommatorie:
Con le sommatorie:
Prima l'ho risolto con la sommatoria, poi mi è venuta un'idea che lo rendeva molto più semplice e veloce da calcolare...
Comunque è questo:
Calcolare la somma di -1-2-3-4-5+6+7+...+100 (cinque meno e cinque più)
Lo so, è abbastanza scemo...
Soluzione senza sommatorie:
Testo nascosto:
Testo nascosto:
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Re: Faticosa evasione
Testo nascosto:
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]
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