spugna ha scritto:(Legenda: $ S_n = $ somma dei primi n termini)
Se i primi n termini sono tutti diversi da 0, possiamo dimostrare per induzione che il valore massimo di $ S_n $ aumenta con l'aumentare di $ x_n $: per $ n=2 $, fissato $ x_2 $, il valore massimo di $ x_1 $ è $ \dfrac{1}{x_2+1} $, da cui $ S_2 \le x_2+\dfrac{1}{x_2+1} $. La funzione al secondo membro è crescente nell'intervallo [0,1), quindi la somma è massima quando $ x_2 $ è massimo.
(*)
Passo induttivo: supponendo che il lemma valga per un certo n, fissiamo $ x_{n+1} $: per ipotesi induttiva, per massimizzare $ S_n $ dobbiamo massimizzare $ x_n $, che quindi dovrà valere $ \dfrac{1}{x_{n+1}+1} $. Ora bisogna massimizzare $ S_{n-1} $, quindi $ x_{n-1}=\dfrac{1}{x_n+1} $, e così via. Resta da dimostrare che se aumenta $ x_{n+1} $ aumenta anche il valore massimo di $ S_{n+1} $: consideriamo una sequenza $ y_1,y_2,...y_{n+1} $ analoga a quella in questione, con $ y_{n+1}>x_{n+1} $,da cui segue $ y_n<x_n \Rightarrow y_{n-1}>x_{n-1} \Rightarrow y_{n-2}<x_{n-2} \Rightarrow ... $ Tuttavia, sommando i termini a coppie, si ha (e lo si può dimostrare con la
(*)) $ y_{n+1}+y_n>x_{n+1}+x_n $ , $ y_{n-1}+y_{n-2}>x_{n-1}+x_{n-2} $,... A questo punto la somma degli $ y_i $ risulta ovviamente maggiore (se n è pari, $ x_1 $ e $ y_1 $ rimangono soli, ma $ y_1>x_1 $). Ora dobbiamo dimostrare che per ogni $ n \ge 1 $ il valore massimo di $ S_n $ non potrà mai eguagliare la somma al secondo membro, perciò dobbiamo vedere cosa succede se $ x_n \rightarrow 1 $: seguirà
$ x_{n-1} \rightarrow \dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2} $
$ x_{n-2} \rightarrow \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}+1}=\dfrac{2}{3} $
$ x_{n-3} \rightarrow \dfrac{1}{\dfrac{2}{3}+1}=\dfrac{3}{5} $
Si ottengono dunque le stesse frazioni del secondo membro, ma si tratta, alternativamente, di limiti massimi e minimi: ancora una volta ci salva la
(*), infatti si avrà $ x_n<1 \Rightarrow x_n+x_{n-1}<1+\dfrac{1}{2} $ , $ x_{n-2}<\dfrac{2}{3} \Rightarrow x_{n-2}+x_{n-3}<\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{5} $ , eccetera. Sommando membro a membro ottengo la tesi.
Se invece nella successione compaiono termini nulli, chiamo k l'intero tale che $ x_k \neq 0 \wedge x_{k+1}=0 $: per $ n \le k $, la dimostrazione è analoga; per $ n>k $ il secondo membro della tesi aumenta, mentre il primo resta invariato (perchè si aggiungono termini nulli)
C.V.D.
Va bene? Comunque gran bel problema!!