Ok, ormai credo di poter postare le soluzioni che mi sono arrivate. Stavolta hanno partecipato in 4 (
): LukasEta, Drago96, Staffo, Jordan.
LucasEta
PROBLEMA 3
$2^x+2^y+2^z=2336=2^5\cdot 73$
Divido tutto per $2^5$ ed ottengo:
$2^a+2^b+2^c=73$ , con $a=x-5, b=y-5, c=z-5$
Se i 3 addendi sono tutti pari, cioè se $a,b,c\geq 1$, non ottengo soluzioni in quanto RHS è dispari.
Mi rimane il caso in cui qualcuno tra $a,b,c$ è uguale a 0, ottenendo così uno o più addendi dispari (e più precisamente uguali a 1) che mi sistemino la parità. D'altra parte devo avere un numero dispari di addendi dispari, cioè o 1 o 3 addendi dispari. Ma il caso con 3 addendi dispari è da scartare, in quanto otterrei $1+1+1=73$ che mi dà un'identità falsa. RImane il caso in cui uno tra $2^a,2^b,2^c =1$.
Suppongo WLOG che $2^c=1$ e quindi $c=0$: allora ottengo $2^a+2^b=72$. Le uniche soluzioni $(a,b)$ che ne derivano sono $(6,3)(3,6)$, in quanto almeno uno tra $a$ e $b$ deve essere maggiore di 5 (altrimenti potrei ottenere al massimo $32+32<72$) , ma chiaramente sia $a$ che $b$ sono minori di 7, quindi uno tra i 2 deve essere 6 da cui deriva che l'altro è 3.
Riciclo il ragionamento supponendo che $2^a=1$ e poi che $2^b=1$ : allora le terne di soluzioni $(a,b,c)$ che complessivamente ottengo sono:
$(0,6,3);(0,3,6);(3,0,6);(6,0,3);(3,6,0);(6,3,0);$ le cui corrispettive terne $(x,y,z)$ sono: $(5,11,8);(5,8,11);(8,5,11);(11,5,8);(8,11,5);(11,8,5)$
PROBLEMA 5
5)Trovare tutte le coppie di interi positivi $ x, y $ tali che $ x^3-y^3=2xy+8 $.
A) Suppongo $x\geq y$, quindi $x=d+y$.
Sostituisco:
$(d+y)^3-y^4=2(d+y)y+8$ . Da cui
$(3d-2)y^2+yd(3d-2)+d^3=8$
Da questa ottengo che $d\leq 2$, cioè $d=0,1,2$.
Sostituendo i 3 possibili valori per la $d$, non ottengo alcun valore intero positivo per la $y$ .
B) Suppongo che $y\geq x$ cioè $y=x+d$
Sostituisco e ottengo:
$(3d+2)x^2+(3d+2)x+d^3=-8$
Siccome $d$ è positivo, non ci sono valori interi positivi ammissibili per la $x$.
Non ci sono soluzioni all'equazione... (almeno spero xD)
PROBLEMA 6
Trovare tutte le coppie di interi a e b tali che $a^{2^b}-b^{2^a}=2$
Si dimostrerà che le uniche coppie di soluzioni $(a,b)$ sono : $(2,0);(0,-2);(9,-1)$.
A)Supponiamo che $a,b$ entrambe $\geq 1$: allora gli esponenti $2^b$ e $2^a$ sono entrambi pari,e sfruttando il prodotto notevole posso riscrivere l'equazione come $(a^{2^{b-1}}+b^{2^{b-1}})(a^{2^{b-1}}-b^{2^{a-1}})=2$. Siccome le basi stesse sono maggiori o uguali a 1, $(a^{2^{b-1}}+b^{2^{b-1}})>(a^{2^{b-1}}-b^{2^{a-1}})$ per ogni $a,b\geq 1$, e siccome il prodotto dei due fattori deve darmi 2, l'unica combinazione possibile è $(a^{2^{b-1}}+b^{2^{b-1}})=2, (a^{2^{b-1}}-b^{2^{a-1}})=1$.
Svolgendo il sistema ottengo $b^{2^{a-1}}=2^{-1}$ che non è verificata per nessuna $b$ intera, pertanto il sistema non ha soluzioni intere: non ci sono quindi soluzioni per nessuna $a,b$ entrambe $ \geq 1$.
B)Supponiamo ora che $a,b$ entrambi$ \leq -1$, e chiamiamo $a=-m$, $b=-n$ con $m,n$ interi positivi.
Allora non può esistere il termine $a^{2^b}$ : infatti $a^{2^b}=-m^{2^{-k}}=-m^{\frac {1}{2^k}}=\sqrt[2^k]{-m}$ che non esiste nei reali.
C) Supponiamo adesso che $a$ sia positivo e $b$ sia negativo (quindi entrambi diversi da 0), e chiamiamo $b=-n$ con $n$ intero positivo.
Allora : $a^{2^b}-b^{2^a}=a^{\frac {1}{2^n}}-(-n^{2^a})=a^{\frac {1}{2^n}}-n^{2^a}=2$.
Notando che $a^{\frac {1}{2^n}}>n^{2^a}$ solo per $n=1$ e $a>1$, ottengo la coppia di soluzioni $(a,n)$-> $(9,1)$ , da cui deriva la coppia $(a,b)$->$(9,-1)$
D) Supponiamo adesso che $a$ sia negativo e $b$ sia negativo (quindi entrambi diversi da 0), e chiamiamo $a=-m$ con $m$ intero positivo.
Allora: $a^{2^b}-b^{2^a}=-m^{2^b}-b^{\frac {1}{2^m}}=m^{2^b}-b^{\frac {1}{2^m}}=2$. Con un ragionamento analogo al precedente, mi accorgo che non esistono soluzioni intere in questo caso.
E) Rimane infine il caso in cui almeno uno tra $a$ e $b$ è uguale a 0. Per prova diretta , sostituendo 0 ad $a$ e a $b$ ottengo le soluzioni $(2,0);(0,-2)$
Drago96
PROBLEMA 1
Innanzitutto, noto che valgono tutti i b=a, perchè, per le proprietà delle potenze, a2a2+aa2+1=a4+a3+1 .
Inoltre valgono anche tutti gli a=0 .
ora noto che a4+a3+1 non ha radici intere, il che sifnifica che riscrivendolo come (a−k)q(a), il primo fattore non è intero. Perciò non esiste nessun polinomio che moltiplicato per un intero dia a4+a3+1 .
quindi a2b2+ab2+1 non può essere suo divisore.
PROBLEMA 3
La prima cosa da fare è scomporre in fattori primi 2336; perciò 2336=73⋅25
Innanzitutto noto che x=y=z è impossibile: infatti verrebbe 2x=23363 , ma 23363/∈N
Allora provo a raccogliere 2x : 2x(1+2y−x+2z−x)=2336
Quindi 73⋅25−x=1+2y−x+2z−x
Ma ciò è impossibile, perchè un dispari * pari (la potenza di 2) = pari ; e pari - 1 = dispari (perchè porto a sinistra l'1)
Allora l'unica alternativa è che x=5 , perciò 2y−5+2z−5=72
Ora scompongo, 72=32⋅23
Stesso ragionamento di prima, quindi y−x=3 e 2z−y=8
Da qui ottengo che x=5,y=8,z=11
Verifico che 25+28+211=32+256+2048=2336
Perciò l'unica soluzione è (5,8,11)
staffo
PROBLEMA 2
Chiamo 2a=k (per comodità).
Eseguo la divisione e ottengo kb+kb−1+...+k+1
Analizzo le congruenze mod8.
Fino a k3 tutti i residui (essendo k pari) sono 0.
Ora se k è divisibile per 4 e non per 8, allora k2≡0 e k+1≡5, quindi il residuo totale è 5, che mod8 non è residuo quadratico.
Se k è divisibile per 2 e non per 8, con lo stesso ragionamento arrivo a dire che tutto quel polinomio lì è congruo a 7, che non è un residuo quadratico mod8.
Quindi 8|k e questo implica 4|a.
PROBLEMA 3
Pongo WLOG x≥y≥z.
Allora posso scrivere 2z(2x−z+2y−z+1). di questi due fattori, il secondo non è divisibile per 2, allora tutti i fattori due di 2336 (25⋅73) devono essere contenuti in 2z, quindi z=5.
Allora ottengo 2x−5+2y−5=72. raccolgo ancora 2y−5(2x−y+1)=72. stesso ragionamento di prima mi porta a dire y−5=3 cioè y=8.
A questo punto ottengo 2x−8=8, cioè x=11.
Le soluzioni sono (5,8,11) e permutazioni.
PROBLEMA 5
x e y devono avere la stessa parità, quindi differiranno, almeno, di due.
Voglio minimizzare la differenza dei cubi. Siccome x e y differiscono almeno di due, pongo x=y+2.
Ottengo (con dovute semplificazioni) 5y2+16y=0. Trasportandolo in disuguaglianza, essendo x e y interi positivi, ottengo che il membro di sinistra è sempre maggiore del membro di destra (e questo è vero perchè, minimizzando la differenza di cubi, ho al contempo massimizzato il prodotto xy), e quindi x3−y3>xy+8, e di conseguenza non ci sono soluzioni.
PROBLEMA 6
Gli esponenti di a e di b sono pari, quindi posso scomporre quella differenza di quadrati come: (a2b−1−b2a−1)(a2b−1−b2a−1)=2 essendo due un numero primo, allora uno dei due dovrà essere uguale ad uno, e l'altro uguale a due. ovviamente la differenza, essendo minore della somma, deve essere uguale ad 1, e l'altra deve essere uguale a 2. Chiamo a2b−1=A e b2a−1=B, ottengo dunque:
A−B=1 e A+B=2, che implica B=12 e A=32, ma, essendo A e B delle potenze di interi, esse devono essere intere, quindi non ci sono soluzioni.
Jordan
Ho dei problemi nel copia-incolla delle soluzioni di Jordan (non vengono trascritte le cose in LaTex...) perciò le trovate (tutte e 6) qui:
http://bboyjordan.wordpress.com/2010/07 ... blems-2nd/
). per quanto riguarda gli altri 5 non li avevo mai visti, proverò.
