Problemino

[LaCanonica]

Ciao ragazzi, ho un problemino stupido di probabilità che non so se ho risolto correttamente...Voi come lo fareste?

Due ragazzi giocano a testa o croce e fanno delle scommesse. Se uno indovina fa un punto, se sbaglia fa 0. Si giocano 24 denari che vanno a chi per primo fa 6 punti. Tuttavia mentre sono 5 a 3 arriva la polizia e i due scappano. Come si devono spartire la posta?

Grazie in anticipo...

PS il prof ha detto che possono anche scommettere entrambi sullo stesso risultato, ma in questo caso non può succedere che il gioco vada avanti all'infinito??? Help!

[Drago96]

Non ho ben capito il PS...

Analizzo tutti i casi (scrivo chi vince):
- se vince la partita A, allora vince A (50% di probabilità)
- succede B-A (25%) : vince A
- B-B-A (12,5%) : vince di nuovo A
- B-B-B (12,5%) : è l'unico caso in cui vince B
Dunque il primo ha l' 87,5% di probabilità di vincere, mentre il secondo ha il 12,5%; ovvero è 7 volte più probabile che il primo vinca rispetto al secondo...
Perciò la distribuzione più equa sarebbe $ \displaystyle{{7 \over 8} \cdot 24 = 21 \ denari} $ al primo e $ \displaystyle{{1 \over 8} \cdot 24 = 3 \ denari} $ al secondo

[LaCanonica]

Ok allora l'ho fatto bene
Per quanto riguarda il PS, se invece i due giocatori potessero anche scommettere sullo stesso risultato, ci sarebbe anche il caso in cui vincono entrambi e quello in cui perdono entrambi... Però se perdono entrambi ogni volta il gioco può anche non finire mai, giusto? Quindi non ha senso chiedere come si devono spartire i soldi in questo caso...O sì?

[Drago96]

Ancora non capisco...
Come fanno a vincere o perdere ENTRAMBI? Che io sappia, a testa e croce O si vince O si perde...

[LaCanonica]

Nel senso che scommettono entrambi su testa o entrambi su croce... Anche io sono rimasta, come dire, perplessa nell'udire ciò

[xdavix96]

Credo si faccia costruendo un grafo ad albero in questo modo
Le possibili scommesse sono (V scommessa vinta, P scommessa persa):
V P, in questo caso la partita è finita e 1 ha vinto
P V,la partita continua e il risultato è 5 4
V V, come V P
P P, si torna nella situazione iniziale.

Quindi 1/2 che vinca 1, 1/4 che si vada avanti sul punteggio di 5-4, 1/4 che si ritorni alla situazione iniziale.

Dopo aver disegnato il grafo, imposti un equazione del tipo: p=..... dove la probabilità che si ritorni alla situazione iniziale sarà per esempio 1/4p.

Appena un secondo provo a fare i calcoli

Edit: Cosa succede se arrivano a 6 punti insieme?

[Drago96]

Nel senso che scommettono entrambi su testa o entrambi su croce... Anche io sono rimasta, come dire, perplessa nell'udire ciò

Ok... devo aver capito... quindi in questo caso o entrambi vincono 1 punto, o lo perdono entrambi, giusto?
Ma possono alternare i due metodi, no? (perchè altrimenti mi pare un po' impossibile che siano arrivati 5 a 3... )
Comunque se continuano a giocare in questo modo è sicuro che prima o poi A vincerà...
Se invece alternano, direi che al massimo possono arrivare in parità (B vince con il primo metodo altre due partite, fanno il 5-5, e entrambi scommettono sulla stessa cosa), altrimenti sarebbe come se non usassero questo metodo...

In conclusione, A si prende più soldi di B (lasciami pensare un po' a QUANTi di preciso)

[xdavix96]

Mi esce che la probabilità che vinca A è 41/43, la probabilità che vinca B è 1/43, la probabilità che arrivino sul 6-6 è 1/43

[Drago96]

Mi esce che la probabilità che vinca A è 41/43, la probabilità che vinca B è 1/43, la probabilità che arrivino sul 6-6 è 1/43

Uhm...
Puoi scrivere bene il procedimento?
Hai preso in considerazione anche quando scommettono entrambi sulla stessa cosa, vero?

[xdavix96]

Nel senso che scommettono entrambi su testa o entrambi su croce... Anche io sono rimasta, come dire, perplessa nell'udire ciò

Ok... devo aver capito... quindi in questo caso o entrambi vincono 1 punto, o lo perdono entrambi, giusto?
Ma possono alternare i due metodi, no? (perchè altrimenti mi pare un po' impossibile che siano arrivati 5 a 3... )
Comunque se continuano a giocare in questo modo è sicuro che prima o poi A vincerà...
Se invece alternano, direi che al massimo possono arrivare in parità (B vince con il primo metodo altre due partite, fanno il 5-5, e entrambi scommettono sulla stessa cosa), altrimenti sarebbe come se non usassero questo metodo...

In conclusione, A si prende più soldi di B (lasciami pensare un po' a QUANTi di preciso)

Quando uno sbaglia non perde soldi

[Drago96]

Quando uno sbaglia non perde soldi

Intendevo che rimangono entrambi senza punto... Scusate se mi sono espresso male...

Comunque la giocata migliore per B è provare ad arrivare 5-5, e poi scommettere sulla stessa cosa di A, arrivando in parità. Oppure può tentare la sorte e cercare di superare A...
Quindi direi che c'è il 25% di possibilità di arrivare al 5-5; poi dipende da B: se sceglie di scommettere come A, allora pareggiano; altrimenti al 50% vince A e al 50% vince B...

Perciò se B sceglie di provare a pareggiare (giocando come ho detto all'inizio), c'è:
- 75% vince A
- 25% pareggiano

Ora non saprei.. faccio la media? Allora ho:
- 81,25% vince A
- 12,5% pareggiano
- 6,25% vince B

Direi che ho finito...

[xdavix96]

Allora ho costruito un grafo ad albero

Ad ogni scommessa le possibilità sono:
V V
P P
V P
P V

Ognuna ha probabilità 1/4

Parto dal 5-3:

-1/2 di probabilità che vinca A
-1/4 di probabilità che si vada sul 5-4
-1/4 di probabilità che si torni nella situazione iniziale

Ora considero l'unico caso in cui il gioco continua (diverso da quello nel quale si torna nella situazione iniziale)
5-4:

-1/2 di probabilità che vinca A
-1/4 di probabilità che si vada sul 5-5
-1/4 di probabilità che si torni nella situazione iniziale

5-5:

-1/4 di probabilità che vinca A
-1/4 di probabilità che vinca B
-1/4 di probabilità che arrivino sul 6-6
-1/4 di probabilità che si torni alla situazione di prima

L'equazione che determina la probabilità che vinca A è: p=1/2+1/4p+1/4*1/2+1/4*1/4p+1/4*1/4*1/4+1/4*1/4*1/4p
L'equazione che determina la probabilità che vinca B è: p=1/4*1/4*1/4+1/4p+1/4*1/4p+1/4*1/4*1/4p
L'equazione che determina la probabilità che si arrivi sul 6-6, è uguale a quest ultima (se provi a disegnare il grafo te ne accorgerai)

[xdavix96]

Anzi forse è sbagliato perchè quando uno perde a partire dal secondo livello del grafo ad albero non torna esattamente nella situazione iniziale, ora lo riguardo

[Drago96]

Anzi forse è sbagliato perchè quando uno perde a partire dal secondo livello del grafo ad albero non torna esattamente nella situazione iniziale, ora lo riguardo

Già... mi sa che hai sovrapposto qualche probabilità...

Comunque ho editato il mio msg precedente con le mie conclusioni... Guarda se vanno bene

EDIT:
Ah, non ho poi applicato le probabilità ai soldi!
Quindi:
- 81,25% di 24 vanno ad A --> 19,5 denari
- 12,5 se li spartiscono --> 1,5 denari a testa
- 6,25% a B --> 1,5 denari

In conclusione, tenendo conto di tutte le variabili, i soldi dovrebbero essere così spartiti (guarda caso, è come se le "doppie scommesse" non avessero interferito... )
- 21 denari ad A
- 3 denari a B

[xdavix96]

Anzi forse è sbagliato perchè quando uno perde a partire dal secondo livello del grafo ad albero non torna esattamente nella situazione iniziale, ora lo riguardo

Già... mi sa che hai sovrapposto qualche probabilità...

Comunque ho editato il mio msg precedente con le mie conclusioni... Guarda se vanno bene

Credo che ci sia qualcosa che non va, quando posso riguardo questo problema