Geometria solida

[mens-insana]

Ciao a tutti!!
<BR>
<BR>Esercizio:
<BR>Determinare il rapporto tra l\'area della superficie di un cubo e l\'area della sezione ottenuta intersecando il cubo con un piano passante per il centro del cubo e perpendicolare alla diagonale del cubo.
<BR>
<BR>Ora non so quanti si dedicheranno a fare questo problema...in ogni caso ho deciso di postarlo lo stesso...
<BR>
<BR>Ciao ciao....mens...[addsig]

[EvaristeG]

24/5? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

[fedegringo]

Può essere qualcosa come 3*SQR(2) ~ 4,42 ?

[XT]

orrido simbolo <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif">

[mens-insana]

Scusate ma la risposta non la so... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
<BR>ma se postate qualcosa di più oltre alla risposta magari vediamo un po\' meglio chi di voi ci ha azzeccato...
<BR>
<BR>Scusatemi...[addsig]

[Alex85]

io direi
<BR>sup. del cubo
<BR>6*c^2
<BR>sup. del \"coso\": esagono di lato c/2
<BR>(((c/2)/2)^2)*sqrt(3)*6
<BR>((c/4)^2)*6sqrt(3)
<BR>(c^2/16)*6sqrt(3)
<BR>6 sqrt(3) c^2 / 16
<BR>3 sqrt(3) c^2 / 8
<BR>
<BR>il rapporto è
<BR>(3 sqrt(3) c^2 / <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> / (6*c^2)
<BR>3 sqrt(3) / 6*8
<BR>sqrt(3) / 2*8
<BR>
<BR>di sicuro ho sbagliato qualche passaggio, cmq più o meno dovrebbe esser così
<BR>
<BR>alex
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>

[Alex85]

il rapporto è
<BR>(3 sqrt(3) c^2 / / (6*c^2)
<BR>3 sqrt(3) / 6*8
<BR>sqrt(3) / 2*8
<BR>
<BR>

[EvaristeG]

L\'esagono è di lato c/2 ? sei sicuro?Se è una sezione perpendicolare alla diagonale, contiene un\'altra diagonale che sarà due volte il lato dell\'esagono. la diagonale del cubo e sqrt(3)*c, quindi l\'esagono avrà area 9/2l^2*sqrt(3) e il rapporto sarà 4sqrt(3)/9....sì, nel messaggio di prima avevo scritto una cazzata: avevo capito male il problema... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

[Alex85]

evaristeg
<BR>---------------
<BR>L\'esagono è di lato c/2 ? sei sicuro?Se è una sezione perpendicolare alla diagonale, contiene un\'altra diagonale che sarà due volte il lato dell\'esagono.
<BR>--------------
<BR>non sono d\'accordo:
<BR>prendi un cubo di base inferiore ABCD
<BR>base superiore EFGH (AE, BF ecc ecc)
<BR>
<BR>prendi le diagonali AG e BH
<BR>si incontrano in Q (centro del cubo)
<BR>AG = sqrt(3)c
<BR>BH = sqrt(3)c
<BR>AQ = sqrt(3)c / 2
<BR>BQ = sqrt(3)c / 2
<BR>AB = c
<BR>purtroppo AQ^2 + BQ^2 != AB^2
<BR>quindi: le diagonali AG e BH non sono perpendicolari
<BR>
<BR>-------------
<BR>altro caso:
<BR>prendi le diagonali AG e CE
<BR>AG = sqrt(3)c
<BR>CE = sqrt(3)c
<BR>AQ = sqrt(3)c / 2
<BR>CQ = sqrt(3)c / 2
<BR>AC = sqrt(2)c
<BR>
<BR>purtroppo AQ^2 + CQ^2 != AC^2
<BR>quindi: le diagonali AG e BH non sono perpendicolari
<BR>
<BR>tutti gli altri casi si riconducono a questi due
<BR>-----------------------------------------------------------------------
<BR>io ho fatto così:
<BR>appendi il cubo per un vertice
<BR>sezionalo con un piano parallelo al piano di terra
<BR>con le tre facce superiori, deve formarsi un triangolo equilatero
<BR>con le 3 facce inferioni, deve formarsi un altro triangolo equilatero, ruotato di 60° rispetto al primo
<BR>[il cubo appeso al vertice, ruotato di 120°, ritorna \"uguale\"]
<BR>il cubo è simmetrico ecc.ecc.
<BR>quindi sovrapponiamo i 2 triangoli e otteniamo un esagono regolare.
<BR>
<BR>Alex
<BR>
<BR>ps: questa dim. me la sono inventata ora, infatti non è un gran chè (imprecisa confusa ecc.), diciamo che si vedeva a occhio che era un esagono <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>

[jabberwocky]

ci sono un pio di cose che mi sembra non quadrino nel ragionameno di alex:
<BR>a prima è un dettaglio, mens-insana ha chiesto il rapporto tra il cubo e la sezione di piano, non viceversa, quindi (2a cosa) fra l\'area della faccia del quadrato (l^2) e l\'area del triangolo (pari a un sesto dell\'esagono) di lato l/2*sqrt(2), e non l/2, almeno mi sembra, provare a prendere in mano un cubo vero, un cubo di robik o un grande d6 e ve ne rendete subito conto
<BR>il rapporto sarebbe allora, fatte le dovute semplificazioni, 8*sqrt(3)/3 (le sqrt(2) semplificano il 2*<IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>a me sembra giusto, provate un po\' voi
<BR> L

[Alex85]

1) mens-insana ha chiesto il rapporto tra il cubo e la sezione di piano, non viceversa,
<BR>2) fra l\'area della faccia del quadrato (l^2) e l\'area del triangolo (pari a un sesto dell\'esagono) di lato l/2*sqrt(2), e non l/2,
<BR>
<BR>già, hai ragione.
<BR>il rapporto alla fine allora viene il doppio (o la metà?).
<BR>
<BR>alex
<BR>

[jabberwocky]

alla fine il rapporto viene la metà (le sqrt sono nel\'esagono quindi stannoa l denominatore):
<BR>8/sqrt(3)