Esercizio (dal libro di Penrose) di Analisi complessa

[matty96]

La funzione $f(z)$ è olomorfa su tutto un contorno chiuso $\Gamma$ e anche tutto l'interno $\Gamma$ tranne che in un insieme finito di punti dove $f$ ha dei poli.Dimostrare che $$\oint f(z) \, dz=2\pi i \cdot s(r_p)$$,dove $s(r_p)$ indica la somma dei residui in questi poli e il residuo al polo $\alpha$ è $\frac{h^{n-1}(\alpha)}{(n-1)!}$

Vorrei che mi aiutaste a capirlo,o meglio dovreste chiarirmi il concetto di polo,poichè il libro di Penrose non si sofferma molto a spiegarlo.Il resto credo di averlo capito

[matty96]

up?

[dario2994]

Ti tocca attendere perchè sono pochi i frequentatori di questo forum che possono aiutarti

p.s. giusto per curiosità quel simbolo simil-integrale con un cerchietto aggiungo... sarebbe una specie di integrazione in senso complesso? (avrà senso ??? )

[staffo]

infatti io me lo sto chiedendo da un pezzo che significhi quell'integrale, ma non ho trovato nulla a riguardo XD

[<enigma>]

Penso sull'integrale al contorno si possa trovare qualcosa qui (vedi anche qui per qualche esempio). In effetti è un po' più complicato del concetto di "area sotto una curva" con cui si introduce il classico integrale, ma non è così difficile da capire, e soprattutto ha senso eccome.

[matty96]

Penrose lo spiega bene.Si,si intende un intgrazione lungo un contorno,ma diversa perchè se una funzione olomorfa $f(z)$ ha un "buco" (ad esempio una singolarità) all'origine ci sono vari modi di percorrere i punti presi su un riferimento cartesiano(non stiamo parlando soltanto di punti su una retta reale,ma anche sui complessi) e in questo caso i risultati possono essere diversi.Se ad esempio si esamina $f(z)=z^{-1}$ ha una singolarità per z=0,cioè all'origine perciò l'integrale lungo un contorno ha risultati diversi:$2\pi i$,$-2\pi i$ ecc... dipende dall'orientamento del contorno.Poi ci sono le curve omologiche,omotopiche e molte altre cose.Spiegato elementarmente è molto interessante,anche perchè penrose non va nel particolare e ti fa dimostrare passo passo tutti i teoremi.

[FrancescoVeneziano]

Non conosco il libro di Penrose, ma vi suggerisco di non lanciarvi in argomenti troppo complicati, perché affrontandoli senza avere una buona preparazione si rischia solo di far confusione e fissarsi in testa abitudini sbagliate.
Se vuoi studiare per passione della matematica più avanzata ti suggerisco "Che cos'è la matematica?" di Courant e Robbins, che è un bellissimo libro di divulgazione hard, mostra una panoramica di argomenti diversi con della teoria, dimostrazioni ed esercizi.

[matty96]

Il libro si Penrose,La strada che porta alla realtà,è divulgativo quindi non si addentra nei particolari,sembra quasi una cosa elementare quando lo spiega,infatti gli esercizi non sono complicati.Io voglio capire soltanto cos'è un polo e il residuo,perchè questa cosa non mi è chiara.Lui dice in maniera un pò "stringata" che un polo di ordine n nel punto $z=\alpha$ significa $f(z)$ in questo punto è della forma $\frac{h(z)}{(z-\alpha)^n}$ dove $h(z)$ è regolare.Cosa significa che $h(z)$ è regolare? Forse che è una funzione liscia?

[EvaristeG]

non solo liscia, vuol dire olomorfa... cmq mi associo al consiglio di FrancescoVeneziano.

[ma_go]

se preferisci, vuol dire "serie di potenze (totalmente convergente in un piccolo intorno)".
comunque:

Spiegato elementarmente è molto interessante,anche perchè penrose non va nel particolare e ti fa dimostrare passo passo tutti i teoremi.

una cosa del genere non esiste: o si va nel particolare, o non si dimostra nulla. al massimo si possono dare idee intuitive (spesso confuse per dimostrazioni); poi, se uno ne sa abbastanza, dall'idea intuitiva riesce a tirar fuori una dimostrazione. se uno sa solo la definizione intuitiva e fa le cose approssimativamente, nascono i paradossi e le contraddizioni, e le idee sbagliate inculcate nelle giovani menti.
ergo, mi associo a EvaristeG e FrancescoVeneziano.

[matty96]

Sono coscente di questo,ma comunque questo è un libro divulgativo,non penso che confondi le idee,è giusto una lettura per far capire come funziona la cosa.Certamente non sono cosi' pazzo(e soprattutto non ho le capacità) di prendere un libro di analisi complessa che si studia all'università e studiarmelo.Sono soltanto un pò curioso.

[EvaristeG]

non penso che confondi le idee

...confonda, semmai.

,è giusto una lettura per far capire come funziona la cosa.

quello che vogliamo dire è che non è possibile "far capire come funziona la cosa" senza andare nel dettaglio, almeno per come conosciamo la "cosa" noi, ovvero dopo averla studiata per un semestre o più (più, nel mio caso). Un'introduzione "intuitiva" all'analisi complessa non esiste, perché l'analisi complessa non è intuitiva ... parla di funzioni dal piano in sè, il cui grafico dovrebbe quindi stare in 4 dimensioni ... e poi trasferisce formalmente concetti intuitivi sui reali in cose analoghe sui complessi, ottenendo risultati tutt'altro che intuitivi.

Certamente non sono cosi' pazzo(e soprattutto non ho le capacità) di prendere un libro di analisi complessa che si studia all'università e studiarmelo.Sono soltanto un pò curioso.

Mah ... tra Penrose e il Cartan (tanto per citare qualcosa che anche ma_go e Venez conoscono), io tiferei per il Cartan, a parte certi pezzi più avanzati.