$ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

[ndp15]

Lo stesso discorso che ho fatto in x=a, dimostrando che $ f_+^' (a) \neq 0 $ posso farlo, visto che la funzione è continua, in tutti gli altri punti dell'intervallo, cioè in tutti gli $ x=a+h $ con $ h $ punto generico tale che assuma tutti i valori $ 0<h \leq (b-a) $

Ok facciamolo questo discorso

Per la "soluzione" di dario2994 appena mi rimetto un po' in sesto (dopo 8 ore di matematica all'università in effetti si è un po' stanchi ) la leggo e vedo (se lo fa qualcun altro, magari anche più esperto di me, non mi offendo di certo! )

[SkZ]

la citazione mi aveva ingannato.

[julio14]

Lo stesso discorso che ho fatto in x=a, dimostrando che $ f_+^' (a) \neq 0 $ posso farlo, visto che la funzione è continua, in tutti gli altri punti dell'intervallo, cioè in tutti gli $ x=a+h $ con $ h $ punto generico tale che assuma tutti i valori $ 0<h \leq (b-a) $

Perché dici che puoi farlo? In x=a sfrutti il fatto che la funzione è 0, x=a+h non lo sai.

[ndp15]

Sia $c=\inf\{x\in[a,b]:\ f(x)\not=0\}$, se tale c non esiste allora vale la tesi.

Tale c esiste perchè c'è sempre sup e inf di sottoinsiemi dei reali, ma fin qui nulla di male.

Per la continuità di f f(c)=0.

Già qua non mi è chiaro. Come usi la continuità? Se sciogli il dubbio poi passerò oltre.

[SkZ]

per risolvere intrighi si puo' ridire che se f non e' costantemente 0 allora esiste un $c\geq a$ tale che f(c)=0 e $f(x)\neq 0$ in un suo intorno destro (per definizione f non e' nulla in un certo punto $\hat x>c$ ma per continuita' la funzione assume tutti i valori tra f(c)=0 e $f(\hat x)$ in $[c;\hat x]$)

a proposito di sviste, data una funzione continua definita su un aperto, non e' detto che abbia massimo (es. una retta ove "punto di massimo e minimo" non appartengono all'intervallo). Mentre ce l'ha se definita su un chiuso.
cmq mi pare aggiustabile con minimo sforzo

[dario2994]

Bon... per quanto riguarda f(c)=0... beh in [a,c) la funzione vale 0, quindi per continuità anche in c. (senno piglio la palla piccola a sufficienza e a sinistra non funge... )
Per quanto riguarda il fatto che non c'è massimo nel chiuso... è vero, ma quello davvero si aggiusta senza problemi, solo che non ho voglia di farlo perchè bisognerebbe ridefinire d "stringendolo"... ma vabbè, si capisce quello che tento di fare penso...

[SkZ]

non c'e' sicurezza di massimo nell'aperto (funzioni continue mandano chiusi in chiusi e l'antiimmagine di un aperto e' un aperto): giornata di studio pesante?

penso che basta che prendi d come il piu' piccolo tra b e il punto successivo a c ove f(x)=0 e l'intervallo chiuso [c;d]: c'e' sicuramente un massimo o un minimo, quindi il suo modulo ha sicuramente massimo. e $M>\frac1{b-c}$

[dario2994]

non c'e' sicurezza di massimo nell'aperto (funzioni continue mandano chiusi in chiusi e l'antiimmagine di un aperto e' un aperto): giornata di studio pesante?

penso che basta che prendi d come il piu' piccolo tra b e il punto successivo a c ove f(x)=0 e l'intervallo chiuso [c;d]: c'e' sicuramente un massimo o un minimo, quindi il suo modulo ha sicuramente massimo. e $M>\frac1{b-c}$

Ops... sbagliato a scrivere aperto/chiuso È proprio quello che intendevo

[FrancescoVeneziano]

Per favore cerchiamo di non confondere le idee.

per risolvere intrighi si puo' ridire che se f non e' costantemente 0 allora esiste un $c\geq a$ tale che f(c)=0 e $f(x)\neq 0$ in un suo intorno destro

Questo è *sbagliato*, è precisamente l'errore nel primo tentativo di soluzione postato da dario2994, ed è già stato corretto da ma_go, con tanto di controesempio.

funzioni continue mandano chiusi in chiusi

Anche questo è *sbagliato*, ad esempio $e^{x}$ manda il chiuso $(-\infty,0]$ nell'intervallo $(0,1]$, che chiuso non è.

[SkZ]

giusto: compatti (chiusi limitati) in compatti!
$\mathbb{R}$ e' un chiusaperto! non sempre me lo ricordo cercando un controesempio

il bello e' che avevo letto il post di ma_go e commentato: giusto perche' i punti in cui si annulla sono "densi" (in realta' non sono veramente densi, dato che non e' vero per qualunque coppia di essi, ma uno deve essere lo 0).