$ |f'(x)|\leq M|f(x)|$
$ |f'(x)|\leq M|f(x)|$
Spero non sia troppo conosciuto e probabilmente può essere generalizzato in qualche modo, anyway:
Sia $\displaystyle f \in \mathit C^1 ([a,b]), f(a)=0$ e si supponga esista una costante $ M>0$ tale che $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$ in $ [a,b]$. Provare che $ f$ è identicamente nulla in $[a,b]$.
Sia $\displaystyle f \in \mathit C^1 ([a,b]), f(a)=0$ e si supponga esista una costante $ M>0$ tale che $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$ in $ [a,b]$. Provare che $ f$ è identicamente nulla in $[a,b]$.
Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$
Alur... vorrei capire come si dimostra formalmente una roba del genere... a me viene da considerare $c=\inf\{x\in [a,b]\ :\ |f(x)|>0\}$ e mostrare che $f(c)=0$ e che se $c\not= b$ allora $f'(c)\not=0$ da questo deriverebbe la tesi, perchè in $c$ non valgono le ipotesi.
Ora... $f(c)=0$ è vero per la continuità di $f$, perchè prendendo il limite dal basso avrei un assurdo se non valesse 0.
Invece non sono certo che $f'(c)\not =0$ e non saprei neppure come mostrarlo...
Ora... $f(c)=0$ è vero per la continuità di $f$, perchè prendendo il limite dal basso avrei un assurdo se non valesse 0.
Invece non sono certo che $f'(c)\not =0$ e non saprei neppure come mostrarlo...
Ultima modifica di dario2994 il 01 feb 2011, 21:57, modificato 1 volta in totale.
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"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$
Ma c non era tale che $|f(c)| > 0$? Perchè vuoi dimostrare adesso che $f(c)=0$?
Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$
Uhm... ma il minimo di un insieme potrebbe non farne parte...
Dato che lo scrivi tu, qualcosa non mi quadra ... forse ho sbagliato a scrivere min? la notazione è un'altra?
Insomma $min\{x\in R:\ x>0\}$ è proprio 0...
EDIT: OPSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS quel min sarebbe un inf... ecco il problema
Dato che lo scrivi tu, qualcosa non mi quadra ... forse ho sbagliato a scrivere min? la notazione è un'altra?
Insomma $min\{x\in R:\ x>0\}$ è proprio 0...
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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$
Ok, per quanto riguarda $f'(c)=0$, consiglio di considerare $x^2$.
Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$
Yep, c'avevo pensato nel frattempo... peccato, tentativo banale fallitoedriv ha scritto:Ok, per quanto riguarda $f'(c)=0$, consiglio di considerare $x^2$.
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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$
Bo, nella speranza di non scrivere assurdità ci provo:
Considero l'intorno destro di $ a $, $ \displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x) = 0 $
Faccio ora 2 casi:
Caso 1) $ f_+^' (a) \neq 0 $
In questo caso non varrebbe mai $ |f'(x)|\leq M|f(x)| $. quindi deve essere per forza il caso 2.
Caso 2) $ f_+^' (a) = 0 $, faccio ora lo stesso discorso per il punto successiva e così via per tutti i punti fino a $ b $. ma a questo punto se la funzione è continua e derivabile e se $ f'(x) = 0 \ \ \forall x $ appartenenti a $ [a,b] $ allora $ f(x) = k $ (la dimostrazione di questo fatto è facile e ovvia) ma essendo $ f(a)=0 $ allora $ f(x)= 0\ \ \forall x $
Considero l'intorno destro di $ a $, $ \displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x) = 0 $
Faccio ora 2 casi:
Caso 1) $ f_+^' (a) \neq 0 $
In questo caso non varrebbe mai $ |f'(x)|\leq M|f(x)| $. quindi deve essere per forza il caso 2.
Caso 2) $ f_+^' (a) = 0 $, faccio ora lo stesso discorso per il punto successiva e così via per tutti i punti fino a $ b $. ma a questo punto se la funzione è continua e derivabile e se $ f'(x) = 0 \ \ \forall x $ appartenenti a $ [a,b] $ allora $ f(x) = k $ (la dimostrazione di questo fatto è facile e ovvia) ma essendo $ f(a)=0 $ allora $ f(x)= 0\ \ \forall x $
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$
@amatrix:
nel caso 1. perché non varrebbe MAI? mi vien da dire che non vale in x=a
nel caso 2. cos'è il "punto successivo"?
nel caso 1. perché non varrebbe MAI? mi vien da dire che non vale in x=a
nel caso 2. cos'è il "punto successivo"?
Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$
Bueno, aggiustato la dimostrazione...
Sia $c=\inf\{x\in[a,b]:\ f(x)\not=0\}$, se tale c non esiste allora vale la tesi.
Per la continuità di f $f(c)=0$.
Esiste $d>c$ tale che $\forall x\in (d,c):\ f(x)\not=0$ (altrimenti $c$ non sarebbe inf). In particolare esiste un tale $d<\frac{1}{M}$... lo chiamo e.
Per la continuità di f nell'aperto $(c,e)$ la funzione è limitata, quindi anche il suo modulo lo è. Considero il massimo del suo modulo, che ad esempio è in $y\in (c,e)$ allora esiste un $x\in (c,y)$ tale che $|f'(x)|\ge |\frac{f(y)-f(c)}{y-c}|$ ora trasformo l'RHS e applico l'ipotesi su LHS ottenendo: $M|f(x)|\ge |\frac{f(y)}{y-c}|> |M\cdot f(y)|$ da cui $|f(x)|>|f(y)|$ che è assurdo perchè y era il massimo...
Sia $c=\inf\{x\in[a,b]:\ f(x)\not=0\}$, se tale c non esiste allora vale la tesi.
Per la continuità di f $f(c)=0$.
Esiste $d>c$ tale che $\forall x\in (d,c):\ f(x)\not=0$ (altrimenti $c$ non sarebbe inf). In particolare esiste un tale $d<\frac{1}{M}$... lo chiamo e.
Per la continuità di f nell'aperto $(c,e)$ la funzione è limitata, quindi anche il suo modulo lo è. Considero il massimo del suo modulo, che ad esempio è in $y\in (c,e)$ allora esiste un $x\in (c,y)$ tale che $|f'(x)|\ge |\frac{f(y)-f(c)}{y-c}|$ ora trasformo l'RHS e applico l'ipotesi su LHS ottenendo: $M|f(x)|\ge |\frac{f(y)}{y-c}|> |M\cdot f(y)|$ da cui $|f(x)|>|f(y)|$ che è assurdo perchè y era il massimo...
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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$
beep. così come è scritto, questo è falso.dario2994 ha scritto:Esiste $d>c$ tale che $\forall x\in (d,c):\ f(x)\not=0$ (altrimenti $c$ non sarebbe inf).
Testo nascosto:
Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$
Uff... ciò fa fallire tutto
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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$
Ma in effetti non usavo quella roba da nessuna parte... forse questo aggiusta...
dario2994 ha scritto: Sia $c=\inf\{x\in[a,b]:\ f(x)\not=0\}$, se tale c non esiste allora vale la tesi. Inoltre per la continuità di f $f(c)=0$
Pongo $d=c+\frac12\min\{b-c,\frac{1}{M}\}$
Per la continuità di f nell'aperto $(c,d)$ la funzione è limitata, quindi anche il suo modulo lo è. Considero il massimo del suo modulo, che ad esempio è in $y\in (c,d)$ allora esiste un $x\in (c,y)$ tale che $|f'(x)|\ge |\frac{f(y)-f(c)}{y-c}|$ ora trasformo l'RHS e applico l'ipotesi su LHS ottenendo: $M|f(x)|\ge |\frac{f(y)}{y-c}|> |M\cdot f(y)|$ da cui $|f(x)|>|f(y)|$ che è assurdo perchè y era il massimo...
Ultima modifica di dario2994 il 02 feb 2011, 18:37, modificato 1 volta in totale.
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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$
EvaristeG ha scritto:@amatrix:
nel caso 1. perché non varrebbe MAI? mi vien da dire che non vale in x=a
Sì certo mi sono espresso male, intendevo che in x=a non viene mai.
Lo stesso discorso che ho fatto in x=a, dimostrando che $ f_+^' (a) \neq 0 $ posso farlo, visto che la funzione è continua, in tutti gli altri punti dell'intervallo, cioè in tutti gli $ x=a+h $ con $ h $ punto generico tale che assuma tutti i valori $ 0<h \leq (b-a) $nel caso 2. cos'è il "punto successivo"?
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$
Toglimi un dubbio:dario2994 ha scritto:Bueno, aggiustato la dimostrazione...
Sia $c=\inf\{x\in[a,b]:\ f(x)\not=0\}$, se tale c non esiste allora vale la tesi.
Per la continuità di f $f(c)=0$.
Esiste $d>c$ tale che $\forall x\in (d,c):\ f(x)\not=0$ (altrimenti $c$ non sarebbe inf). In particolare esiste un tale $d<\frac{1}{M}$... lo chiamo e.
abbiamo $a\leq c$ per costruzione e $c<d<\frac1M$ per ipotesi, ergo $a\leq c<d<\frac1M$ ergo $a<\frac1M$ che non mi torna
intendevi $d-c<\frac1M$?
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]
Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php
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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$
Leggi la nuova, quella che ho piazzato qualche messaggio fa in citazione (senza motivo logico poi...) li ho correttoSkZ ha scritto:Toglimi un dubbio:dario2994 ha scritto:Bueno, aggiustato la dimostrazione...
Sia $c=\inf\{x\in[a,b]:\ f(x)\not=0\}$, se tale c non esiste allora vale la tesi.
Per la continuità di f $f(c)=0$.
Esiste $d>c$ tale che $\forall x\in (d,c):\ f(x)\not=0$ (altrimenti $c$ non sarebbe inf). In particolare esiste un tale $d<\frac{1}{M}$... lo chiamo e.
abbiamo $a\leq c$ per costruzione e $c<d<\frac1M$ per ipotesi, ergo $a\leq c<d<\frac1M$ ergo $a<\frac1M$ che non mi torna
intendevi $d-c<\frac1M$?
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
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