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da Mist » 01 mag 2012, 18:00
Risuscito questo post perchè ho trovato una soluzione caruccia alla seconda disuguaglianza

Riprendo la riscrittura ceh avevo proposto:
$yz + zx + xy − 2xyz = (yz + zx + xy)\cdot 1 − 2xyz = (yz + zx + xy)\cdot (x+y+z) − 2xyz = xyz+yz^2 + zy^2+xy^2 + xz^2 + yx^2 $ $+zx^2 = xyz+(x+y)z^2+(z+x)y^2+(y+z)x^2 = xyz +(1-z)z^2+(1-y)y^2+(1-x)x^2 \geq 0$
Ho da dimostrare che $\displaystyle xyz +(1-z)z^2+(1-y)y^2+(1-x)x^2 \leq \frac{7}{27}$. Applicando jensen, si ha che $\displaystyle \frac{(1-z)z^2+(1-y)y^2+(1-x)x^2}{3} \leq \left ( 1-\frac{x+y+z}{3} \right) \left( \frac{x+y+z}{3}\right) ^2 = \frac{2}{27}$ e quindi $\displaystyle (1-z)z^2+(1-y)y^2+(1-x)x^2 \leq \frac{2}{9}$(1). D'altro canto per AM-GM si ha che $\displaystyle xyz \leq \left( \frac{x+y+z}{3} \right) ^3 = \frac{1}{27}$(2). Sommando la (1) e al (2) si ottiene la tesi.
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102